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小學數(shù)學總復習專題講解及訓練(八) 教案教學設計(人教新課標六年級總復習)

發(fā)布時間:2016-2-9編輯:互聯(lián)網數(shù)學教案

 

主要內容

正比例和反比例

學習目標

1、使學生結合實際情境認識成正比例和反比例的量,能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例或反比例。

2、使學生初步認識正比例的圖像是一條直線,能利用給出的具有正比例關系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應的直線,能根據(jù)具有正比例關系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。

3、使學生在認識成正比例、反比例的量的過程中,初步體會數(shù)量之間相依互變的關系,感受有效表示數(shù)量關系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學模型,進一步提升思維水平。

4、使學生進一步體會數(shù)學與日常生活的密切聯(lián)系,增強探索數(shù)學知識和規(guī)律的意識,養(yǎng)成積極主動地參與學習活動的習慣,提高學好數(shù)學的信心。

考點分析

1、兩種相關聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們之間的關系叫做正比例關系。

如果用字母x和y分別表示兩種相關聯(lián)的量,用k表示它們的比值,正比例關系可以用這樣的式子來表示:  = K(一定)。

2、用“描點法”可以得到正比例的圖像,正比例的圖像是一條直線。對照圖像,能根據(jù)一種量的值,估計另一種量相對應的值。

3、兩種相關聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的乘積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們之間的關系叫做反比例關系。

如果用字母x和y分別表示兩種相關聯(lián)的量,用k表示它們的積,反比例關系可以用這樣的式子來表示:xy = K(一定)。

4、兩個變量的比值一定,這兩個變量成正比例;兩個變量的積一定,這兩個變量成反比例;沒有上述兩種關系,這兩個變量不成比例。

典型例題

例1、(正比例的意義)一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關系?

時間/時 1 2 3 4 5 6 ……

路程/千米 120 240 360 480 600 720 ……

分析與解:(1)從上表可以看出,表中有時間和路程兩種量。

(2)從左往右看,時間擴大,路程也擴大;從右往左看,時間縮小,路程也縮小。所以它們是兩種相關聯(lián)的量。

(3)路程和時間的比值始終不變,  = 120,  = 120,  = 120……這個比值就是火車的行駛速度。

通過觀察和計算,我們對路程和時間的關系有兩點發(fā)現(xiàn):第一點路程和時間是兩種相關聯(lián)的量,也就是時間變化,路程也隨著變化;第二點路程和對應的時間的比的比值(也就是速度)是一定的,有這樣的關系:  = 速度(一定)。

具備了這兩個條件,我們就可以得到結論:行駛的路程和時間成正比例關系;行駛的路程和時間成正比例的量。

點評:判斷兩種量是不是成正比例,分三步:一看它們是不是相關聯(lián)的兩種量;二是看一種量變化,另一種量是不是也隨著變化;滿足了前面兩個條件,再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母x和y分別表示兩種相關聯(lián)的量,用k表示它們的比值,正比例關系可以用這樣的式子來表示:  = K(一定)。

例2、(判斷是否成正比例)

練習本的單價一定,買練習本的數(shù)量和總價是不是成正比例?為什么?

分析與解:根據(jù)正比例的意義,看兩個變量的比值是否一定,如果兩個變量的比值一定,那么這兩個變量就成正比例,反之,則不成正比例。

買練習本的數(shù)量和總價是兩種相關聯(lián)的量,它們與練習本的單價有下面的關系:

  = 練習本的單價(一定)

所以練習本的數(shù)量和總價成正比例。

例3、(正比例的圖像)磁懸浮列車勻速行駛時,路程與時間的關系如下。

時間/分 1 2 3 4 5 6  7 ……

路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 ……

(1)圖中的點A表示時間為1分鐘時,磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點。

(2)連接各點,它們在一條直線上嗎?

(3)根據(jù)圖像判斷,列車運行2分半鐘時,行駛的路程是多少千米?行駛30千米大約需要幾分鐘?  路程/千米

42 

35 

28 

21 

14 

7   ●A

0

     1  2  3  4 5  6  7 時間/分

分析與解:根據(jù)提供的各組數(shù)據(jù)描出圖像的許多個點,再依次連成直線。路程和時間相對應的數(shù)的比值都是7,即速度一定,路程和時間成正比例,圖像是一條直線。對照圖像,可以根據(jù)時間的值估計出路程的值,也可以根據(jù)路程的值估計出時間的值,估計時允許有一定的出入。

(1)描點、連線如圖。

               路程/千米

42                 ● 

35              ● 

28           ● 

21        ● 

14      ● 

7   ●A

0

     1  2  3  4 5  6  7 時間/分

(2)在一條直線上,因為路程和時間成正比例,正比例的圖像是一條直線。

(3)根據(jù)圖像,列車運行2分半鐘時,行駛的路程是17.5千米;行駛30千米大約需要4.3分鐘。

例4、(辨析)圓的周長和直徑成正比例,圓的面積和半徑成正比例?

分析與解:圓的周長和直徑成正比例,而圓的面積和半徑卻不成正比例。

可列表判斷。

半徑/cm 1 2 3 4 5 6 ……

直徑/cm 2 4 6 8 10 12 ……

周長/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ……

面積/cm 3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ……

圓的周長和直徑的相對應的數(shù)的比值都是3.14,所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應的數(shù)的比值是變化的,所以圓的面積和半徑不成正比例。

圓的周長和直徑成正比例,圓的面積和半徑卻不成正比例。

例5、(反比例的意義)

下表是王師傅加工一批零件時,每小時加工零件個數(shù)隨時間變化的情況。這兩種量有什么關系?

每小時加工零件的個數(shù)/個 20 30 40 60  80 ……

加工的時間/時 12 8 6 4 3 ……

分析與解:(1)從上表可以看出,表中有每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間兩種量。(2)從左往右看,每小時加工零件的個數(shù)擴大,加工的時間反而縮;從右往左看,每小時加工零件的個數(shù)縮小,加工的時間反而擴大。所以它們是兩種相關聯(lián)的量。(3)每小時加工零件的個數(shù)和相對應的加工的時間的積都始終不變,如20 × 12 = 240,30 × 8 = 240,40 × 6 = 240……而這個積就是這批零件的總個數(shù)。

通過觀察和計算,我們發(fā)現(xiàn):每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間是兩種相關聯(lián)的量,每小時加工零件的個數(shù)隨著加工的時間變化而變化,但無論它們怎么變化,相對應的積是一定的,有這樣的關系:每小時加工零件的個數(shù) × 加工的時間 = 零件的總個數(shù)(一定)。

所以每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間成反比例的量,它們之間的關系叫做反比例關系。

點評:判斷兩種量是不是成反比例,和正比例一樣,分三步:一看它們是不是相關聯(lián)的兩種量;二是看一種量變化,另一種量是不是也隨著變化;滿足了前面兩個條件,再看它們的乘積是否一定,進行判斷。不要省去任何一步。如果用字母x和y分別表示兩種相關聯(lián)的量,用k表示它們的比值,正比例關系可以用這樣的式子來表示:xy = K(一定)。

例6、(判斷是否成反比例)

總產量一定,每公頃的產量和公頃數(shù)是不是成反比例?為什么?

分析與解:根據(jù)反比例的意義,看兩個變量的乘積是否一定,如果兩個變量的積一定,那么這兩個變量就成反比例,反之,則不成反比例。

每公頃的產量和公頃數(shù)是兩種相關聯(lián)的量,它們與總產量有下面的關系:

每公頃的產量 × 公頃數(shù) = 總產量(一定)

所以每公頃的產量和公頃數(shù)成反比例。

例7、(辨析)和一定,一個加數(shù)和另一個加數(shù)成反比例。

分析與解:判斷兩個變量是否成反比例,關鍵是看兩個變量的乘積是否一定。很明顯,和一定,兩個加數(shù)的積是變化的,所以它們不成反比例。

和一定,一個加數(shù)和另一個加數(shù)不成反比例。因為它們的積不一定。

點評:有些相關聯(lián)的量,雖然也是一種量變化,另一種量也隨著變化,但它們不是積一定,也       不是比值一定,它們就不成比例。像這樣的還有:人的跳高高度和身高;減數(shù)一定,被減數(shù)和差等。

例8、(綜合題1)

(1)長方形的面積一定,長和寬成反比例嗎?為什么?

(2)長方形的周長一定,長和寬成反比例嗎?為什么?

分析與解:判斷時可以用列表的方式列舉數(shù)據(jù),也可以根據(jù)計算的公式來推導。

(1)因為長方形的長 × 寬 = 長方形的面積(一定),所以長和寬成反比例。

(2)長方形的周長 = (長+寬)× 2 ,長方形的周長一定,長+寬的和一定,但不是積一定,所以長和寬不成反比例。

例9、(綜合題2)

分別說明大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中,每兩種量的比例關系。

(1)大米的總千克數(shù)一定,每天吃的千克數(shù)和天數(shù);

(2)每天吃的千克數(shù)一定,大米的總千克數(shù)和天數(shù);

(3)天數(shù)一定,大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)。

分析與解:在大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中,當某一種量一定時,另外兩種量可能成正比例關系,也可能成反比例關系?梢愿鶕(jù)數(shù)量關系式來判斷。

(1)因為每天吃的千克數(shù) × 天數(shù) = 大米的總千克數(shù)(一定),所以大米的總千克數(shù)一定時,每天吃的千克數(shù)和天數(shù)成反比例。

(2)因為  = 每天吃的千克數(shù)(一定),所以每天吃的千克數(shù)一定時,大米的總千克數(shù)和天數(shù)成正比例。

(3)因為  = 天數(shù)(一定),所以天數(shù)一定時,大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)成正比例。

小學數(shù)學總復習專題講解及訓練(八)

模擬試題

1、仔細觀察每張表格,思考表格中兩種量之間有關系嗎?有什么關系?為什么?

表格1

數(shù)量/本 1 3 6 8 10 20 ……

總價/元 4 12 24 32 40 80 ……

表格2

單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

總價/元 6 8 12 16 20 24 ……

表格3   用60元錢購買筆記本,筆記本的單價和可以購買的數(shù)量如下表:

單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

數(shù)量/本 40 30 20 15 12 10 ……

2、用一批紙裝訂練習本,每本25頁,可以裝訂400本。如果要裝訂500本,每本有X頁。

題中(     )量一定,關系式:(    )○(    )=(   )(一定),(    )和(   )成(   )比例。

3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪,需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚,需要Y塊。

題中(       )量一定,關系式:(      )○(      )=(     )(一定),(    )和(     )成(    )比例。

4、在圓柱的側面積、底面周長、高這三種量中

   當?shù)酌嬷荛L一定時,(   )與(   )成(  )比例;

   當高一定時,(   )與(   )成(   )比例;

   當側面積一定時,(   )與(   )成(   )比例。

5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三種量中,

   當(   )一定時,(   )與(   )成正比例;

   當(   )一定時,(   )與(   )成反比例;

6、當 a × b = c( a、b、c 為三種量,且均不為0)。

 (   )一定,(   )與(   )成(   )比例;

(   )一定,(   )與(   )成(   )比例;

(   )一定,(   )與(   )成(   )比例;

7、判斷。

(1)、工作總量一定,工作效率和工作時間成反比例。(      )

(2)、圖上距離和實際距離成正比例。(       )

(3)、X和Y表示兩種變化的相關聯(lián)的量,同時5X-7Y=0,X和Y不成比例。(      )

(4)、分數(shù)的大小一定,它的分子和分母成正比例。          (     )

(5)、在一定的距離內,車輪周長和它轉動的圈數(shù)成反比例。  (     )

(6)、兩種相關聯(lián)的量,不成正比例,就成反比例。          (     )

(7)訂閱《小學數(shù)學評價手冊》的份數(shù)與所需錢數(shù)成正比例。   (     )

(8)在400米賽跑中,跑步的速度和所用時間成反比例。       (     )

(9)工作總量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。       (     )

(10)正方體的棱長和體積成正比例。                        (     )

(11)被除數(shù)一定,除數(shù)和商成反比例。                      (     )

(12)圓的周長和它的直徑成正比例。                        (     )

8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。

(1)、裝配一批電視機,每天裝配臺數(shù)和所需的天數(shù)(         )。

(2)、正方形的邊長和周長(           )。

(3)、水池的容積一定,水管每小時注水量和所用時間(               )。

(4)、房間面積一定,每塊磚的面積和鋪磚的塊數(shù)(              )。

(5)、在一定時間里,加工每個零件所用的時間和加工零件的個數(shù)(           )。

(6)、在一定時間里,每小時加工零件的個數(shù)和加工零件的個數(shù)(              )。

9、思考:明明三歲時體重12千克,十一歲時體重44千克。于是小張就說:“明明的體重和身高成正比例!蹦阏J為小張的說法對嗎?為什么?

10、某造紙廠每小時造紙1.5噸,2小時、3小時┈┈各造紙多少噸?

(1)把下表填寫完整。

造紙時間/時 1 2 3 4 ……

造紙噸數(shù)/噸 1.5 ……

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),在下圖中描出造紙時間和造紙噸數(shù)對應的點,再把它們連起來。             噸數(shù)/噸

6  

0

     1  2  3  4 5  6  7 時間/時

(3)造紙噸數(shù)與造紙時間成正比例嗎?為什么?

(4)根據(jù)圖像判斷, 5小時造紙多少噸?

參考答案:

1、仔細觀察每張表格,思考表格中兩種量之間有關系嗎?有什么關系?為什么?

表格1

數(shù)量/本 1 3 6 8 10 20 ……

總價/元 4 12 24 32 40 80 ……

  = 4,  = 4,  = 4  ……

因為  = 單價(一定),所以單價一定時,總價和數(shù)量成正比例。

表格2

單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

總價/元 6 8 12 16 20 24 ……

  = 4,  = 4,  = 4  ……

因為  = 數(shù)量(一定),所以數(shù)量一定時,總價和單價成正比例。

表格3   用60元錢購買筆記本,筆記本的單價和可以購買的數(shù)量如下表:

單價/元 1.5 2 3 4 5 6 ……

數(shù)量/本 40 30 20 15 12 10 ……

1.5 × 40 = 60 ,2 × 30 = 60 ,4 × 15 = 60  ……

因為單價 × 數(shù)量 = 總價(一定),所以總價一定時,單價和數(shù)量成反比例。

2、用一批紙裝訂練習本,每本25頁,可以裝訂400本。如果要裝訂500本,每本有X頁。

題中(   紙的總頁數(shù)  )量一定,關系式:(  每本頁數(shù)  ) × ( 裝訂本數(shù) )=( 紙的總頁數(shù)  )(一定),(  每本頁數(shù)  )和(  裝訂本數(shù) )成(  反  )比例。

3、一間會客室地面用邊長0.3米的正方形地磚鋪,需要640塊。如果改用邊長0.4米的正方形地磚,需要Y塊。

題中(  會客室地面面積 )量一定,關系式:( 每塊磚的面積 )×(  磚的塊數(shù)  )=(  會客室地面面積   )(一定),(  每塊磚的面積  )和(  磚的塊數(shù)   )成(  反  )比例。

4、在圓柱的側面積、底面周長、高這三種量中

   當?shù)酌嬷荛L一定時,( 側面積  )與( 高  )成(正)比例;

   當高一定時,(  側面積 )與(  底面周長 )成(正)比例;

   當側面積一定時,(   底面周長 )與(  高 )成(  反 )比例。

5、在被除數(shù)、除數(shù)、商這三種量中,

   當( 除數(shù)  )一定時,(  被除數(shù) )與(  商 )成正比例;

   當( 被除數(shù)  )一定時,(  除數(shù)  )與(  商  )成反比例;

6、當 a × b = c( a、b、c 為三種量,且均不為0)。

 (  c  )一定,(  a )與(  b )成(  反  )比例;

(  a )一定,(  c )與(  b )成(  正 )比例;

(  b )一定,(  c )與(  a )成(  正 )比例;

7、判斷。

(1)、工作總量一定,工作效率和工作時間成反比例。       ( √ )

(2)、圖上距離和實際距離成正比例。                     (  × )

(3)、X和Y表示兩種變化的相關聯(lián)的量,同時5X-7Y=0,X和Y不成比例。(   ×   )

(4)、分數(shù)的大小一定,它的分子和分母成正比例。          (  √   )

(5)、在一定的距離內,車輪周長和它轉動的圈數(shù)成反比例。  (  √  )

(6)、兩種相關聯(lián)的量,不成正比例,就成反比例。          (  ×  )

(7)訂閱《小學數(shù)學評價手冊》的份數(shù)與所需錢數(shù)成正比例。   (  √  )

(8)在400米賽跑中,跑步的速度和所用時間成反比例。       (  √  )

(9)工作總量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。       (  ×  )

(10)正方體的棱長和體積成正比例。                        (  ×  )

(11)被除數(shù)一定,除數(shù)和商成反比例。                      (  √  )

(12)圓的周長和它的直徑成正比例。                        (  √ )

8、判斷下面每題中的兩種量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。

(1)、裝配一批電視機,每天裝配臺數(shù)和所需的天數(shù)(   反比例      )。

(2)、正方形的邊長和周長(   正比例        )。

(3)、水池的容積一定,水管每小時注水量和所用時間(     反比例         )。

(4)、房間面積一定,每塊磚的面積和鋪磚的塊數(shù)(      反比例        )。

(5)、在一定時間里,加工每個零件所用的時間和加工零件的個數(shù)(  反比例  )。

(6)、在一定時間里,每小時加工零件的個數(shù)和加工零件的個數(shù)(  正比例  )。

9、思考:明明三歲時體重12千克,十一歲時體重44千克。于是小張就說:“明明的體重和身高成正比例!蹦阏J為小張的說法對嗎?為什么?

答:小張的說法是錯誤的,體重和身高不是兩種相關聯(lián)的量,體重和身高不成比例。

10、某造紙廠每小時造紙1.5噸,2小時、3小時┈┈各造紙多少噸?

(1)把下表填寫完整。

造紙時間/時 1 2 3 4 ……

造紙噸數(shù)/噸 1.5 3 4.5 6 ……

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),在下圖中描出造紙時間和造紙噸數(shù)對應的點,再把它們連起來。             噸數(shù)/噸

6           ●  

3      ● 

1     

0

1  2  3  4 5  6  7 時間/時

(3)造紙噸數(shù)與造紙時間成正比例嗎?為什么?

因為  = 每小時造紙噸數(shù)(一定),所以每小時造紙噸數(shù)一定時,造紙噸數(shù)與造紙時間成正比例。

(4)根據(jù)圖像判斷,5小時造紙多少噸?

根據(jù)圖像判斷,5小時造紙7.5噸

 

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