函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

2024-09-21 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

　　總結(jié)是對(duì)過(guò)去一定時(shí)期的工作、學(xué)習(xí)或思想情況進(jìn)行回顧、分析，并做出客觀(guān)評(píng)價(jià)的書(shū)面材料，它可以提升我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，讓我們抽出時(shí)間寫(xiě)寫(xiě)總結(jié)吧。那么如何把總結(jié)寫(xiě)出新花樣呢？下面是小編整理的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，歡迎閱讀與收藏。

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1

　　余割函數(shù)

　　對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，都對(duì)應(yīng)著唯一的`角(弧度制中等于這個(gè)實(shí)數(shù))，而這個(gè)角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的余割值cscx與它對(duì)應(yīng)，按照這個(gè)對(duì)應(yīng)法則建立的函數(shù)稱(chēng)為余割函數(shù)。

　　記作f(x)=cscx

　　f(x)=cscx=1/sinx

　　1、定義域：{x|x≠kπ，k∈Z}

　　2、值域：{y|y≤-1或y≥1}

　　3、奇偶性：奇函數(shù)

　　4、周期性：最小正周期為2π

　　5、圖像：

　　圖像漸近線(xiàn)為：x=kπ ，k∈Z

　　其實(shí)有一點(diǎn)需要注意，就是余割函數(shù)與正弦函數(shù)互為倒數(shù)。

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2

　　一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)

　　1.二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).（1）注意解題中靈活運(yùn)用二次函數(shù)的一般式二次函數(shù)的頂點(diǎn)式二次函數(shù)的坐標(biāo)式

　　f(x)ax2bxcf(x)a(xm)2n(a0)和f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

　　(a0)

　　（2）解二次函數(shù)的問(wèn)題（如單調(diào)性、最值、值域、二次三項(xiàng)式的恒正恒負(fù)、二次方程根的范圍等）要充分利用好兩種方法：配方、圖像，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解.

　�、�

　　f(x)ax2bxc(a0)，當(dāng)b24ac0時(shí)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

　　M（x1,0）N(x2,0),|MN|=|x1-x2|=

　　.|a|②二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得.2.指數(shù)函數(shù)

　　①amyax(a0,a1)和對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0,a1)的概念和性質(zhì).

　�。�1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運(yùn)算法則：

　　anamn；②(am)namn；③(ab)nanbn（這時(shí)m,n是有理數(shù)）

　　MlogaMlogaNNlogcb1MlogaM；logab

　　nlogcaloga對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、換底公式.

　　loga(MN)logaMlogaN;logaMnnlogaM;logan（2）指數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn).

　�、僦笖�(shù)函數(shù)圖像永遠(yuǎn)在x軸上方，當(dāng)a＞1時(shí)，圖像越接近y軸，底數(shù)a越大；當(dāng)0錯(cuò)解：∵18

　　5,∴l(xiāng)og185b

　　log1845log185log189ba∴l(xiāng)og3645log1836log184log189log184a5,∴l(xiāng)og185b

　　log1845log185log189∴l(xiāng)og3645log1836log184log189bb錯(cuò)因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒(méi)解完.正解：∵18

　　bababa

　　182182alog18()a2log18()a992[例2]分析方程f(x)axbxc0（a0）的兩個(gè)根都大于1的充要條件.

　　2錯(cuò)解：由于方程f(x)axbxc0（a0）對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為

　　f(x)ax2bxc的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于1即可.

　　f(1)0f(1)0故需滿(mǎn)足b，所以充要條件是b

　　112a2a錯(cuò)因：上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)要大于1，卻忽視了最基本的的前題條件，應(yīng)讓二次函數(shù)圖像與x軸有

　　交點(diǎn)才行，即滿(mǎn)足△≥0，故上述解法得到的不是充要條件，而是必要不充分條件.

　　f(1)0b正解：充要條件是12a2b4ac0y36x126x5的單調(diào)區(qū)間.

　　x2xx錯(cuò)解：令6t，則y361265＝t12t5

　　[例3]求函數(shù)

　　∴當(dāng)t≥6,即x≥1時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，當(dāng)t≤6,即x≤1時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)∴函數(shù)

　　y36x126x5的單調(diào)遞減區(qū)間是(,6]，單調(diào)遞增區(qū)間為[6,)

　　x錯(cuò)因：本題為復(fù)合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范圍.正解：令6∴函數(shù)

　　t，則t6x為增函數(shù)，y36x126x5＝t212t5＝(t6)241

　　∴當(dāng)t≥6,即x≥1時(shí)，y為關(guān)于t的增函數(shù)，當(dāng)t≤6,即x≤1時(shí)，y為關(guān)于t的減函數(shù)

　　y36x126x5的單調(diào)遞減區(qū)間是(,1]，單調(diào)遞增區(qū)間為[1,)

　　[例4]已知yloga(2ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是錯(cuò)解：∵yloga(2ax)是由ylogau，u2ax復(fù)合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知，ylogau應(yīng)為增函數(shù)，∴a＞1

　　錯(cuò)因：錯(cuò)因：解題中雖然考慮了對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)定義域的限制，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個(gè)子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在[0，1]上有意義.

　　yloga(2ax)是由ylogau，u2ax復(fù)合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的減函數(shù)，

　　由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知，ylogau應(yīng)為增函數(shù)，∴a＞1

　　又由于x在[0，1]上時(shí)yloga(2ax)有意義，u2ax又是減函數(shù)，∴x＝1時(shí)，u2ax取最小值是

　　正解：∵

　　umin2a＞0即可，∴a＜2，綜上可知所求的取值范圍是1＜a＜2[例5]已知函數(shù)f(x)loga(3ax).

　�。�1）當(dāng)x[0,2]時(shí)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的`取值范圍.

　�。�2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為

　　存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：函數(shù)

　　1，如果存在，試求出a的值；如果不

　　f(x)為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)，要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題思路，是否存在性問(wèn)題，分析時(shí)一

　　0,a1

　　般先假設(shè)存在后再證明.

　　解：（1）由假設(shè)，3ax＞0，對(duì)一切x[0,2]恒成立，a顯然，函數(shù)g(x)=3ax在[0，2]上為減函數(shù)，從而g(2)＝32a＞0得到a＜(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，由題設(shè)知∴a＝

　　32∴a的取值范圍是（0，1）∪（1，

　　32）

　　f(1)1，即f(1)loga(3a)＝1

　　32此時(shí)

　　f(x)loga(33x)當(dāng)x2時(shí)，f(x)沒(méi)有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在.2，

　　12x4xa[例6]已知函數(shù)f(x)=lg,其中a為常數(shù)，若當(dāng)x∈(－∞,1］時(shí),f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　　a2a1xx3111xx解：124a>0,且a－a+1=(a－)+>0,∴1+2+4a>0,a>(11),當(dāng)x∈(－∞,1]時(shí),y=x與y=x都

　　24424x2xa2a1333是減函數(shù)，∴y=(11)在(－∞,1]上是增函數(shù)，(11)max=－,∴a>－,故a的取值范圍是(－,+∞).

　　4444x2x422

　　xx[例7]若(a1)解：∵冪函數(shù)

　　13(32a)1313，試求a的取值范圍.

　　yx有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，

　　∴根據(jù)a1和32a的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系a10a1032a0.①32a0.②a132aa132a解三個(gè)不等式組：①得

　　a10.③32a023，

　　23＜a＜

　　32，②無(wú)解，③a＜－1，∴a的取值范圍是（－∞，－1）∪（

　　32）

　　[例8]已知a>0且a≠1,f(logax)=

　　a1(x－

　　xa21)

　　(1)求f(x)；(2)判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性；

　　(3)對(duì)于f(x),當(dāng)x∈(－1,1)時(shí),有f(1－m)+f(1－m)<0,求m的集合M.

　　分析：先用換元法求出f(x)的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然后利用以上結(jié)論解第三問(wèn).解：(1)令t=logax(t∈R)，則xat,f(t)aatt(aa),f(x)(axax),(xR).22a1a1aa(axax)f(x),且xR,f(x)為奇函數(shù).當(dāng)a1時(shí),20,a1a1u(x)axax為增函數(shù),當(dāng)0a1時(shí),類(lèi)似可判斷f(x)為增函數(shù).綜上,無(wú)論a1或0a1,f(x)在R上都是增函數(shù).

　　(3)f(1m)f(1m2)0,f(x)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù),f(1m)f(m21).又x(1,1)(2)f(x)211m11m2111m2.1mm21四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.函數(shù)

　　f(x)axb的圖像如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0

　　x的值為（）

　　yC.1或4C.2

　　2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,則A.13、方程loga(x1)xA.04、函數(shù)f(x)與g(x)=(

　　2B.4B.1

　　D.4或8D.3

　　(）

　　2(0A.

　　0,nB.,0C.

　　0,2

　　2,0

　　5、圖中曲線(xiàn)是冪函數(shù)y＝x在第一象限的圖像，已知n可取±2，±

　　1四個(gè)值,則相應(yīng)于曲線(xiàn)c1、c2、c3、c4的n依次為()211111111A.－2，－，，2B．2，，－，－2C.－，－2,2，D.2，，－2,－

　　2222226.求函數(shù)y=log2

　　2(x－5x+6)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間.7.若x滿(mǎn)足2(log21x)14log4x30,求f(x)=logxx222log22最大值和最小值.

　　8.已知定義在R上的函數(shù)f(x)2xa2x,a為常數(shù)（1）如果f(x)＝f(x)，求a的值；

　�。�2）當(dāng)

　　f(x)滿(mǎn)足（1）時(shí)，用單調(diào)性定義討論f(x)的單調(diào)性.

　　基本初等函數(shù)綜合訓(xùn)練B組

　　一、選擇題

　　1．若函數(shù)

　　f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a的值為()

　　A．214B．22C．4D．12

　　2．若函數(shù)yloga(xb)(a0,a1)的圖象過(guò)兩點(diǎn)(1,0)

　　和(0,1)，則()

　　A．a(chǎn)2,b2B．a(chǎn)2,b2

　　C．a(chǎn)2,b1D．a(chǎn)2,b23．已知f(x6)log2x，那么f(8)等于（）

　　A．43B．8C．18D．12

　　4．函數(shù)ylgx()

　　A．是偶函數(shù)，在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞增B．是偶函數(shù)，在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減

　　5．已知函數(shù)f(x)lg1x1x.若f(a)b.則f(a)（）A．bB．bC．11bD．b

　　6．函數(shù)f(x)logax1在(0,1)上遞減，那么f(x)在(1,)上（）

　　A．遞增且無(wú)最大值B．遞減且無(wú)最小值C．遞增且有最大值D．遞減且有最小值

　　二、填空題1．若

　　f(x)2x2xlga是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_________。

　　2．函數(shù)

　　f(x)log1x22x5的值域是__________.

　　23．已知log147a,log145b,則用a,b表示log3528。4．設(shè)

　　A1,y,lgxy,B0,x,y,且AB，則x；y。5．計(jì)算：

　　322log325。

　　ex16．函數(shù)y的值域是__________.

　　xe1三、解答題

　　1．比較下列各組數(shù)值的大小：（1）1.7

　　2．解方程：（1）9

　　3．已知

　　4．已知函數(shù)

　　參考答案

　　一、選擇題

　　x3.3和0.82.1；（2）3.30.7和3.40.8；（3）

　　3,log827,log9252231x27（2）6x4x9x

　　y4x32x3,當(dāng)其值域?yàn)閇1,7]時(shí)，求x的取值范圍。

　　f(x)loga(aax)(a1)，求f(x)的定義域和值域；

　　1112321.Alogaa3loga(2a),loga(2a),a32a,a8a,a,a3842.Aloga(b1)0,且logab1,ab2

　　3.D令x4.B令令u68(x0),x82,f(8)f(x6)log2xlog2216f(x)lgx,f(x)lgxlgxf(x)，即為偶函數(shù)

　　x,x0時(shí)，u是x的減函數(shù)，即ylgx在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞減

　　1x1xlgf(x).則f(a)f(a)b.5.Bf(x)lg1x1x6．A令ux1，(0,1)是u的遞減區(qū)間，即a1，(1,)是u的遞增區(qū)間，即f(x)遞增且無(wú)最大值。

　　二、填空題1．

　　1xxxxf(x)f(x)22lga22lga10x(lga1)(2（另法）：xR，由2.

　　2x)0,lga10,a110110f(x)f(x)得f(0)0，即lga10,a,2x22x5(x1)244,

　　而011,log1x22x5log1422222alog14283.log147log145log1435ab,log3528

　　ablog1435141log14log14(214)1log14271(1log147)2a

　　log1435log1435log1435log1435ab4.1,1∵0A,y又∵1B,y0,∴l(xiāng)g(xy)0,xy1

　　51,∴x1,而x1，∴x1,且y1

　　3215.

　　5322log32log32532log321515ex11y6.(1,1)y，ex0,1y1ex11y三、解答題1．解：（1）∵1.71.701,0.82.10.801，∴1.73.30.82.1

　　0.70.80.70.80.80.8（2）∵3.33.3,3.33.4，∴3.33.4（3）log827log23,log925log35,

　　3.333332log22log222log23,log332log333log35,223∴l(xiāng)og925log827.

　　2x2xxxx2．解：（1）(3)63270,(33)(39)0,而330

　　3x90,3x32,

　　x22x4x22x2x（2）()()1,()()10

　　39332251()x0,則()x,332

　　xlog23512

　　3．解：由已知得14x32x37,

　　xxxx43237(21)(24)0,得x即

　　xxx43231(21)(22)0xx即021，或224∴x0，或1x2。

　　xx4．解：aa0,aa,x1，即定義域?yàn)?,1)；

　　ax0,0aaxa,loga(aax)1，即值域?yàn)?,1)。

　　擴(kuò)展閱讀：高一數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章基本初等函數(shù)之對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題(含答案)

　　〖2.2〗對(duì)數(shù)函數(shù)

　　【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

　�。�1）對(duì)數(shù)的定義

　　①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，

　　N叫做真數(shù)．

　�、谪�(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)．③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

　�。�2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式:loga10，logaa1，logaabb．

　　N；自然對(duì)數(shù)：lnN，即loge（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)：lgN，即log10…）．e2.71828（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a0,a1,M①加法：logaN（其中

　　0,N0，那么

　　MlogaNloga(MN)

　　M②減法：logaMlogaNlogaN③數(shù)乘：nlogaMlogaMn(nR)

　�、�

　　alogaNN

　　nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥換底公式：logaNlogbN(b0,且b1)

　　logba【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

　　（5）對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)定義函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)a1yx10a1yx1ylogaxylogax圖象O(1,0)O(1,0)xx定義域值域過(guò)定點(diǎn)奇偶性(0,)R圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x1時(shí)，y0．非奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(0,)上是減函數(shù)logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低，越靠近x軸在第一象限內(nèi)，a越小圖象越靠低，越靠近x軸在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高，越靠近y軸在第四象限內(nèi)，a越小圖象越靠高，越靠近y軸(6)反函數(shù)的概念

　　設(shè)函數(shù)果對(duì)于

　　yf(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如

　　y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子

　　x(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，習(xí)慣

　　上改寫(xiě)成

　　yf1(x)．

　�。�7）反函數(shù)的求法

　　①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

　　f1(y)改寫(xiě)成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

　�。�8）反函數(shù)的性質(zhì)

　�、僭瘮�(shù)②函數(shù)

　　yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)．

　　yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

　　yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．

　�、廴鬚(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

　　yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．

　　一、選擇題：1．

　　log89的值是log23A．

　　（）

　　23B．1C．

　　32D．2

　　2．已知x=2+1,則log4(x3－x－6)等于

　�。ǎ〤.0

　　32B.

　　54123．已知lg2=a，lg3=b，則

　　lg12等于lg15（）

　　A．

　　2ab

　　1abB．

　　a2b

　　1abC．

　　2ab

　　1abD．

　　a2b

　　1ab4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，則x的值為

　　yA．1

　　B．4

　�。ǎ〤．1或4C．(C．ln5

　　D．4或-1（）

　　5.函數(shù)y=log1(2x1)的定義域?yàn)?/p>

　　2A．(

　　1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e

　　1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）

　　y6.已知f(ex)=x，則f(5)等于

　　A．e5

　　7．若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,則f(x)的圖像是

　　yyyABCD

　　8．設(shè)集合A{x|x10},B{x|log2x0|},則AB等于

　　A．{x|x1}C．{x|x1}

　　B．{x|x0}D．{x|x1或x1}

　　2OxOxOxOx（）

　　9．函數(shù)ylnx1,x(1,)的反函數(shù)為（）x1ex1,x(0,)B．yxe1ex1,x(,0)D．yxe1ex1,x(0,)A．yxe1ex1,x(,0)C．yxe1二、填空題

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)3

　　1二次函數(shù)的定義

　　一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函數(shù).

　　注意：(1)二次函數(shù)是關(guān)于自變量的二次式，二次項(xiàng)系數(shù)a必須是非零實(shí)數(shù)，即a≠0，而b，c是任意實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的表達(dá)式是一個(gè)整式;

　　(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù);

　　(3)當(dāng)b=c=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù);

　　(4)一個(gè)函數(shù)是否是二次函數(shù)，要化簡(jiǎn)整理后，對(duì)照定義才能下結(jié)論，例如y=x2-x(x-1)化簡(jiǎn)后變?yōu)閥=x，故它不是二次函數(shù).

　　2二次函數(shù)解析式的幾種形式

　　(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).

　　(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

　　(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.

　　說(shuō)明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，拋物線(xiàn)a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)

　　3二次函數(shù)y=ax2+c的圖象與性質(zhì)

　　(1)拋物線(xiàn)y=ax2+c的形狀由a決定，位置由c決定.

　　(2)二次函數(shù)y=ax2+c的圖象是一條拋物線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，c)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸.

　　當(dāng)a>0時(shí)，圖象的'開(kāi)口向上，有最低點(diǎn)(即頂點(diǎn))，當(dāng)x=0時(shí)，y最小值=c.在y軸左側(cè)，y隨x的增大而減小;在y軸右側(cè)，y隨x增大而增大.

　　當(dāng)a<0時(shí)，圖象的開(kāi)口向下，有最高點(diǎn)(即頂點(diǎn))，當(dāng)x=0時(shí)，y最大值=c.在y軸左側(cè)，y隨x的增大而增大;在y軸右側(cè)，y隨x增大而減小.

　　(3)拋物線(xiàn)y=ax2+c與y=ax2的關(guān)系.

　　拋物線(xiàn)y=ax2+c與y=ax2形狀相同，只有位置不同.拋物線(xiàn)y=ax2+c可由拋物線(xiàn)y=ax2沿y軸向上或向下平行移動(dòng)|c|個(gè)單位得到.當(dāng)c>0時(shí)，向上平行移動(dòng)，當(dāng)c<0時(shí)，向下平行移動(dòng).

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)4

　　一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的口訣：

　　一次函數(shù)是直線(xiàn)，圖象經(jīng)過(guò)三象限;

　　正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線(xiàn);

　　兩個(gè)系數(shù)k與b，作用之大莫小看，k是斜率定夾角，b與y軸來(lái)相見(jiàn)，k為正來(lái)右上斜，x增減y增減;

　　k為負(fù)來(lái)左下展，變化規(guī)律正相反;

　　k的絕對(duì)值越大，線(xiàn)離橫軸就越遠(yuǎn)。

　　拓展閱讀：一次函數(shù)的解題方法

　　理解一次函數(shù)和其它知識(shí)的聯(lián)系

　　一次函數(shù)和代數(shù)式以及方程有著密不可分的聯(lián)系。如一次函數(shù)和正比例函數(shù)仍然是函數(shù)，同時(shí)，等號(hào)的兩邊又都是代數(shù)式。需要注意的是，與一般代數(shù)式有很大區(qū)別。首先，一次函數(shù)和正比例函數(shù)都只能存在兩個(gè)變量，而代數(shù)式可以是多個(gè)變量;其次，一次函數(shù)中的變量指數(shù)只能是1，而代數(shù)式中變量指數(shù)還可以是1以外的數(shù)。另外，一次函數(shù)解析式也可以理解為二元一次方程。

　　掌握一次函數(shù)的解析式的特征

　　一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：kx+b是關(guān)于x的一次二項(xiàng)式，其中常數(shù)b可以是任意實(shí)數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是非零數(shù)，k≠0，因?yàn)楫?dāng)k = 0時(shí)，y = b(b是常數(shù))，由于沒(méi)有一次項(xiàng)，這樣的函數(shù)不是一次函數(shù);而當(dāng)b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函數(shù)，也是一次函數(shù)。

　　應(yīng)用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

　　1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪兩種量是相關(guān)聯(lián)的量，且其中一種量因另一種量的變化而變化;

　　2、找出具有相關(guān)聯(lián)的兩種量的等量關(guān)系之后，明確哪種量是另一種量的函數(shù);

　　3、在實(shí)際問(wèn)題中，一般存在著三種量，如距離、時(shí)間、速度等等，在這三種量中，當(dāng)且僅當(dāng)其中一種量時(shí)間(或速度)不變時(shí)，距離與速度(或時(shí)間)才成正比例，也就是說(shuō)，距離(s)是時(shí)間(t)或速度( )的正比例函數(shù);

　　4、求一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系式，一般采取待定系數(shù)法。

　　數(shù)形結(jié)合

　　方程，不等式，不等式組，方程組我們都可以用一次函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)理解。一元一次不等式實(shí)際上就看兩條直線(xiàn)上下方的關(guān)系，求出端點(diǎn)后可以很容易把握解集，至于一元一次方程可以把左右兩邊看為兩條直線(xiàn)來(lái)認(rèn)識(shí)，直線(xiàn)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解，至于二元一次方程組就是對(duì)應(yīng)2條直線(xiàn)，方程組的解就是直線(xiàn)的交點(diǎn)，結(jié)合圖形可以認(rèn)識(shí)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系也可以把握交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

　　如果一個(gè)交點(diǎn)時(shí)候兩條直線(xiàn)的k不同，如果無(wú)窮個(gè)交點(diǎn)就是k，b都一樣，如果平行無(wú)交點(diǎn)就是k相同，b不一樣。至于函數(shù)平移的問(wèn)題可以化歸為對(duì)應(yīng)點(diǎn)平移。k反正不變?nèi)缓笥么ㄏ禂?shù)法得到平移后的方程。這就是化一般為特殊的解題方法。

　　數(shù)學(xué)解題方法分別有哪些

　　1、配方法

　　所謂的公式是使用變換解析方程的同構(gòu)方法，并將其中的一些分配給一個(gè)或多個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)冪的和形式。通過(guò)配方解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的公式。其中，用的最多的是配成完全平方式。匹配方法是數(shù)學(xué)中不斷變形的重要方法，其應(yīng)用非常廣泛，在分解，簡(jiǎn)化根，它通常用于求解方程，證明方程和不等式，找到函數(shù)的極值和解析表達(dá)式。

　　2、因式分解法

　　因式分解是將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為幾個(gè)積分產(chǎn)品的乘積。分解是恒定變形的基礎(chǔ)。除了引入中學(xué)教科書(shū)中介紹的公因子法，公式法，群體分解法，交叉乘法法等外，還有很多方法可以進(jìn)行因式分解。還有一些項(xiàng)目，如拆除物品的使用，根分解，替換，未確定的系數(shù)等等。

　　3、換元法

　　替代方法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要和廣泛使用的解決問(wèn)題的方法。我們通常稱(chēng)未知或變?cè)�。用新的參�?shù)替換原始公式的一部分或重新構(gòu)建原始公式可以更簡(jiǎn)單，更容易解決。

　　4、判別式法與韋達(dá)定理

　　一元二次方程 ax2+ bx+ c=0( a、 b、 c屬于 R， a≠0)根的判別， = b2-4 ac，不僅用來(lái)確定根的性質(zhì)，還作為一個(gè)問(wèn)題解決方法，代數(shù)變形，求解方程(組)，求解不等式，研究函數(shù)，甚至幾何以及三角函數(shù)都有非常廣泛的應(yīng)用。

　　韋達(dá)定理除了知道二次方程的根外，還找到另一根;考慮到兩個(gè)數(shù)的和和乘積的簡(jiǎn)單應(yīng)用并尋找這兩個(gè)數(shù)，也可以找到根的對(duì)稱(chēng)函數(shù)并量化二次方程根的'符號(hào)。求解對(duì)稱(chēng)方程并解決一些與二次曲線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題等，具有非常廣泛的應(yīng)用。

　　5、待定系數(shù)法

　　在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果我們首先判斷我們所尋找的結(jié)果具有一定的形式，其中包含某些未決的系數(shù)，然后根據(jù)問(wèn)題的條件列出未確定系數(shù)的方程，最后找到未確定系數(shù)的值或這些待定系數(shù)之間的關(guān)系。為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種問(wèn)題解決方法被稱(chēng)為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。

　　6、構(gòu)造法

　　在解決問(wèn)題時(shí)，我們通常通過(guò)分析條件和結(jié)論來(lái)使用這些方法來(lái)構(gòu)建輔助元素。它可以是一個(gè)圖表，一個(gè)方程(組)，一個(gè)方程，一個(gè)函數(shù)，一個(gè)等價(jià)的命題等，架起連接條件和結(jié)論的橋梁。為了解決這個(gè)問(wèn)題，這種解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，我們稱(chēng)之為構(gòu)造方法。運(yùn)用結(jié)構(gòu)方法解決問(wèn)題可以使代數(shù)，三角形，幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)相互滲透，有助于解決問(wèn)題。

　　數(shù)學(xué)經(jīng)常遇到的問(wèn)題解答

　　1、要提高數(shù)學(xué)成績(jī)首先要做什么?

　　這一點(diǎn)，是很多學(xué)生所關(guān)注的，要提高數(shù)學(xué)成績(jī)，首先就應(yīng)該從基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)起。不少同學(xué)覺(jué)得基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)于簡(jiǎn)單，看兩遍基本上就都會(huì)了。這種“自我感覺(jué)良好”其實(shí)是一種錯(cuò)覺(jué)，而真正考試時(shí)又覺(jué)得無(wú)從下手，這還是基礎(chǔ)不牢的表現(xiàn)，因此要提高數(shù)學(xué)成績(jī)先要把基礎(chǔ)夯實(shí)。

　　2、基礎(chǔ)不好怎么學(xué)好數(shù)學(xué)?

　　對(duì)于基礎(chǔ)差的同學(xué)來(lái)說(shuō)，課本是就是學(xué)好數(shù)學(xué)的秘籍，把課本上的定義、公式、定理全部弄懂，力爭(zhēng)在理解的基礎(chǔ)上全部背熟，每一道例題、每一道課后題都要掌握。我們知道只有把公式、定理爛熟于心，才能舉一反三、活學(xué)活用，把課本的知識(shí)學(xué)透有兩個(gè)好處，第一，強(qiáng)化基礎(chǔ);第二，提高得分能力。

　　3、是否要采用題海戰(zhàn)術(shù)?

　　方法君曾不止一次提到了“題海戰(zhàn)術(shù)”，題海戰(zhàn)術(shù)究竟可不可取呢?“題海戰(zhàn)術(shù)”其實(shí)也是一種學(xué)習(xí)方法，但很多學(xué)生只知道做題，不懂得總結(jié)，體現(xiàn)不出任何的學(xué)習(xí)效果。因此在做題后要總結(jié)至關(guān)重要，只有認(rèn)真總結(jié)才能不斷積累做題經(jīng)驗(yàn)，這樣才能取得理想成績(jī)。

　　4、做題總是粗心怎么辦?

　　很多學(xué)生成績(jī)不好，會(huì)說(shuō)自己是因?yàn)榇中膶?dǎo)致的，其實(shí)“粗心”只是借口，真正的原因就是題做得少、基礎(chǔ)知識(shí)不牢、沒(méi)有清晰的解題思路、計(jì)算能力不強(qiáng)。因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，一定要注重熟練度和精準(zhǔn)度的練習(xí)。如果總是給自己找“粗心”的借口，也就變相否定了自己的學(xué)習(xí)弱點(diǎn)，所以，要告訴自己，高中數(shù)學(xué)沒(méi)有“粗心”只有“不用心”。

　　為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

　　作為一門(mén)普及度極廣的學(xué)科，數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明的發(fā)展史上一直占據(jù)著重要的地位。雖然很多人可能會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生排斥，認(rèn)為它枯燥無(wú)味，但事實(shí)上，數(shù)學(xué)是所有學(xué)科的基石之一，對(duì)我們?nèi)粘Ｉ钜约拔磥?lái)的職業(yè)發(fā)展有著重大影響。下面我將詳細(xì)闡述學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。

　　首先，數(shù)學(xué)可以幫助我們提高邏輯思維能力。數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)使我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中時(shí)時(shí)刻刻面臨著思考、推理、證明等諸多問(wèn)題，而這些問(wèn)題正是鍛煉我們邏輯思維的好機(jī)會(huì)。通過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)和練習(xí)，我們的思維能力得到提升，可以更加清晰地分析問(wèn)題，更快速地找到正確的答案。這對(duì)我們?cè)诠ぷ骱蜕钪卸挤浅Ｓ袔椭�，尤其是在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)更能得心應(yīng)手。

　　其次，數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科技中起著至關(guān)重要的作用。在計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)可以幫助我們建立模型、分析數(shù)據(jù)、預(yù)測(cè)趨勢(shì)，并且可以在實(shí)際應(yīng)用中優(yōu)化和改進(jìn)。例如，在人工智能領(lǐng)域，深度學(xué)習(xí)技術(shù)所涉及的數(shù)學(xué)概念包括線(xiàn)性代數(shù)、微積分和概率論等，如果沒(méi)有深厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，很難理解和應(yīng)用這些技術(shù)。同時(shí)，在工程學(xué)領(lǐng)域，許多機(jī)械、電子、化工等產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和制造過(guò)程，也需要運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識(shí)，因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以使我們更好地參與到現(xiàn)代科技的發(fā)展中。

　　除此之外，數(shù)學(xué)也是一種普遍使用的語(yǔ)言，許多學(xué)科和領(lǐng)域都使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)和交流。例如，在自然科學(xué)領(lǐng)域，生物學(xué)、化學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科都使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述自然世界的規(guī)律和現(xiàn)象。在社會(huì)科學(xué)和商科領(lǐng)域，經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)運(yùn)用的數(shù)學(xué)概念，如微積分、線(xiàn)性代數(shù)和統(tǒng)計(jì)學(xué)等，使得我們能夠更好地理解經(jīng)濟(jì)和財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)，并進(jìn)行決策。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以讓我們更好地理解、溝通和交流各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)。

　　最后，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也可以為我們的職業(yè)發(fā)展帶來(lái)廣泛的機(jī)遇和發(fā)展空間。在許多領(lǐng)域，數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的畢業(yè)生都有很廣泛的就業(yè)機(jī)會(huì)，如金融界、數(shù)據(jù)科學(xué)、研究機(jī)構(gòu)、教育等。數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的人才，不只會(huì)提供理論支持，同時(shí)也能夠解決現(xiàn)實(shí)中具體的問(wèn)題，使其在各自領(lǐng)域脫穎而出。

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)5

　　一次函數(shù)

　　一、定義與定義式：

　　自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

　　y=kx+b

　　則此時(shí)稱(chēng)y是x的一次函數(shù)。

　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。

　　即：y=kx （k為常數(shù)，k0）

　　二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

　　1、y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b （k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù)）

　　2、當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。

　　三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

　　1、作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟

　�。�1）列表；

　�。�2）描點(diǎn)；

　�。�3）連線(xiàn)，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線(xiàn)。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線(xiàn)即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)）

　　2、性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿(mǎn)足等式：y=kx+b。（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b），與x軸總是交于（—b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。

　　3、k，b與函數(shù)圖像所在象限：

　　當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；

　　當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當(dāng)b0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)一、二象限；

　　當(dāng)b=0時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)

　　當(dāng)b0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)三、四象限。

　　特別地，當(dāng)b=O時(shí)，直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖像。

　　這時(shí)，當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)一、三象限；當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)只通過(guò)二、四象限。

　　四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：

　　已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。

　�。�1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。

　　（2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿(mǎn)足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ②

　　（3）解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。

　�。�4）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

　　五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

　　1、當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

　　2、當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的.一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S—ft。

　　六、常用公式：（不全，希望有人補(bǔ)充）

　　1、求函數(shù)圖像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

　　2、求與x軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：|x1—x2|/2

　　3、求與y軸平行線(xiàn)段的中點(diǎn)：|y1—y2|/2

　　4、求任意線(xiàn)段的長(zhǎng)：（x1—x2）^2+（y1—y2）^2 （注：根號(hào)下（x1—x2）與（y1—y2）的平方和）

　　二次函數(shù)

　　I、定義與定義表達(dá)式

　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

　　y=ax^2+bx+c

　�。╝，b，c為常數(shù)，a0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a0時(shí)，開(kāi)口方向向下，IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大、）

　　則稱(chēng)y為x的二次函數(shù)。

　　二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

　　II、二次函數(shù)的三種表達(dá)式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a0）

　　頂點(diǎn)式：y=a（x—h）^2+k [拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P（h，k）]

　　交點(diǎn)式：y=a（x—x）（x—x ） [僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x，0）和B（x，0）的拋物線(xiàn)]

　　注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4a x，x=（—bb^2—4ac）/2a

　　III、二次函數(shù)的圖像

　　在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，

　　可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)。

　　IV、拋物線(xiàn)的性質(zhì)

　　1、拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)

　　x= —b/2a。

　　對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)唯一的交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P。

　　特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線(xiàn)x=0）

　　2、拋物線(xiàn)有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

　　P（ —b/2a，（4ac—b^2）/4a ）

　　當(dāng)—b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)= b^2—4ac=0時(shí)，P在x軸上。

　　3、二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小。

　　當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)向上開(kāi)口；當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)向下開(kāi)口。

　　|a|越大，則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。

　　4、一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。

　　當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；

　　當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。

　　5、常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)。

　　拋物線(xiàn)與y軸交于（0，c）

　　6、拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

　　= b^2—4ac0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

　　= b^2—4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

　　= b^2—4ac0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x= —bb^2—4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）

　　V、二次函數(shù)與一元二次方程

　　特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax^2+bx+c，

　　當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

　　函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

　　1、二次函數(shù)y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸如下表：

　　解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸

　　y=ax^2（0，0） x=0

　　y=a（x—h）^2（h，0） x=h

　　y=a（x—h）^2+k（h，k） x=h

　　y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a） x=—b/2a

　　當(dāng)h0時(shí)，y=a（x—h）^2的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，

　　當(dāng)h0時(shí)，則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到、

　　當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　當(dāng)h0，k0時(shí)，將拋物線(xiàn)向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a（x—h）^2+k的圖象；

　　因此，研究拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c（a0）的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a（x—h）^2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，拋物線(xiàn)的大體位置就很清楚了、這給畫(huà)圖象提供了方便、

　　2、拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c（a0）的圖象：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=—b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）、

　　3、拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c（a0），若a0，當(dāng)x —b/2a時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x —b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大、若a0，當(dāng)x —b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x —b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小、

　　4、拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

　�。�1）圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；

　　（2）當(dāng)△=b^2—4ac0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（x，0）和B（x，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　�。╝0）的兩根、這兩點(diǎn)間的距離AB=|x—x|

　　當(dāng)△=0、圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

　　當(dāng)△0、圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)、當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0；當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y0、

　　5、拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c的最值：如果a0（a0），則當(dāng)x= —b/2a時(shí)，y最�。ù螅┲�=（4ac—b^2）/4a、

　　頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值、

　　6、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

　�。�1）當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c（a0）、

　　（2）當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a（x—h）^2+k（a0）、

　　（3）當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a（x—x）（x—x）（a0）、

　　7、二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)、

　　反比例函數(shù)

　　形如y=k/x（k為常數(shù)且k0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

　　自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

　　反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：

　　反比例函數(shù)的圖像為雙曲線(xiàn)。

　　由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f（—x）=—f（x），圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

　　另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　如圖，上面給出了k分別為正和負(fù)（2和—2）時(shí)的函數(shù)圖像。

　　當(dāng)K0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一，三象限，是減函數(shù)

　　當(dāng)K0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二，四象限，是增函數(shù)

　　反比例函數(shù)圖像只能無(wú)限趨向于坐標(biāo)軸，無(wú)法和坐標(biāo)軸相交。

　　知識(shí)點(diǎn)：

　　1、過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)段，這兩條垂線(xiàn)段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為| k |。

　　2、對(duì)于雙曲線(xiàn)y=k/x，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數(shù)（即y=k/（xm）m為常數(shù)），就相當(dāng)于將雙曲線(xiàn)圖象向左或右平移一個(gè)單位。（加一個(gè)數(shù)時(shí)向左平移，減一個(gè)數(shù)時(shí)向右平移）

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)6

　　∴當(dāng)x1時(shí)函數(shù)取得最大值，且ymax(1)2(1)13例4、已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2

　　4]，求實(shí)數(shù)a的取值(1)若函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，分析：二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是由其開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸決定的，要分清函數(shù)在區(qū)間A上是單調(diào)函數(shù)及單調(diào)區(qū)間是A的區(qū)別與聯(lián)系

　　解：（1）f(x)的對(duì)稱(chēng)軸是x可得函數(shù)圖像開(kāi)口向上

　　2(a1)21a，且二次項(xiàng)系數(shù)為1>0

　　1a]∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，∴依題設(shè)條件可得1a4，解得a3

　　4]上是減函數(shù)(2)∵f(x)在區(qū)間(，4]是遞減區(qū)間(，1a]的子區(qū)間∴(，∴1a4，解得a3

　　例5、函數(shù)f(x)x2bx2，滿(mǎn)足：f(3x)f(3x)

　�。�1）求方程f(x)0的兩根x1，x2的和（2）比較f(1)、f(1)、f(4)的大小解：由f(3x)f(3x)知函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為x(3x)(3x)23

　　b3可得b62f(x)x26x2(x3)211

　　而f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)(x1，0)、(x2，0)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x3對(duì)稱(chēng)

　　x1x223，可得x1x26

　　第三章第32頁(yè)由二次項(xiàng)系數(shù)為1>0，可知拋物線(xiàn)開(kāi)口向上又134，132，431

　　∴依二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性可f(4)f(1)f(1)（III）課后作業(yè)練習(xí)六

　�。á簦┙虒W(xué)后記：

　　第三章第33頁(yè)

　　擴(kuò)展閱讀：初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

　　學(xué)大教育

　　初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與歸類(lèi)學(xué)習(xí)方法

　　初中數(shù)學(xué)知識(shí)大綱中，函數(shù)知識(shí)占了很大的知識(shí)體系比例，學(xué)好了函數(shù)，掌握了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，真正精通了函數(shù)的每一個(gè)模塊知識(shí)，會(huì)做每一類(lèi)函數(shù)題型，就讀于中考中數(shù)學(xué)成功了一大半，數(shù)學(xué)成績(jī)自然上高峰，同時(shí)，函數(shù)的`思想是學(xué)好其他理科類(lèi)學(xué)科的基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)從性質(zhì)上分，可以分為：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)，下面介紹各類(lèi)函數(shù)的定義、基本性質(zhì)、函數(shù)圖象及函數(shù)應(yīng)用思維方式方法。

　　一、一次函數(shù)

　　1.定義：在定義中應(yīng)注意的問(wèn)題y＝kx＋b中，k、b為常數(shù)，且k≠0，x的指數(shù)一定為1。2.圖象及其性質(zhì)（1）形狀、直線(xiàn)

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)7

　　一次函數(shù)：一次函數(shù)圖像與性質(zhì)是中考必考的內(nèi)容之一。中考試題中分值約為10分左右題型多樣，形式靈活，綜合應(yīng)用性強(qiáng)。甚至有存在探究題目出現(xiàn)。

　　主要考察內(nèi)容：

　�、贂�(huì)畫(huà)一次函數(shù)的圖像，并掌握其性質(zhì)。

　�、跁�(huì)根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式。

　　③能用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。

　�、芸疾煲籭c函數(shù)與二元一次方程組，一元一次不等式的關(guān)系。

　　突破方法：

　�、僬_理解掌握一次函數(shù)的概念，圖像和性質(zhì)。

　�、谶\(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想解與一次函數(shù)圖像有關(guān)的問(wèn)題。

　�、壅莆沼么ㄏ禂�(shù)法球一次函數(shù)解析式。

　�、茏鲆恍┚C合題的訓(xùn)練，提高分析問(wèn)題的能力。

　　函數(shù)性質(zhì)：

　　1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k.即：y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0），∵當(dāng)x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

　　2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的點(diǎn),坐標(biāo)為(0，b)。

　　3當(dāng)b=0時(shí)(即y=kx)，一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。

　　4.在兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中：

　　當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k相同，b也相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像重合；當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的`k相同，b不相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像平行；當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b不相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像相交；當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像交于y軸上的同一點(diǎn)（0，b）。若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系式可以表示成Y=KX+b(k,b為常數(shù)，k不等于0）則稱(chēng)y是x的一次函數(shù)圖像性質(zhì)

　　1、作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟：

　�。�1）列表.

　�。�2）描點(diǎn)；[一般取兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”的道理，也可叫“兩點(diǎn)法”。一般的y=kx+b(k≠0）的圖象過(guò)（0，b）和（-b/k，0）兩點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)即可。

　　正比例函數(shù)y=kx(k≠0）的圖象是過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，一般取（0,0）和（1，k）兩點(diǎn)。（3）連線(xiàn)，可以作出一次函數(shù)的圖象一條直線(xiàn)。因此，作一次函數(shù)的圖象只需知道2點(diǎn)，并連成直線(xiàn)即可。（通常找函數(shù)圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是-k分之b與0，0與b）.

　　2、性質(zhì)：

　�。�1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿(mǎn)足等式：y=kx+b(k≠0)。

　�。�2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像都是過(guò)原點(diǎn)。

　　3、函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

　　4、k，b與函數(shù)圖像所在象限：

　　y=kx時(shí)（即b等于0，y與x成正比例)：

　　當(dāng)k>0時(shí)，直線(xiàn)必通過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；當(dāng)k>0,b

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)8

　　k0時(shí)，y隨x的增大而減小，直線(xiàn)一定過(guò)二、四象限（3）若直線(xiàn)l1：yk1xb1l2：yk2xb2

　　當(dāng)k1k2時(shí)，l1//l2；當(dāng)b1b2b時(shí)，l1與l2交于(0，b)點(diǎn)。

　　（4）當(dāng)b>0時(shí)直線(xiàn)與y軸交于原點(diǎn)上方；當(dāng)b學(xué)大教育

　　(1)是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)中稱(chēng)心是原點(diǎn)（2）對(duì)稱(chēng)性：是軸直線(xiàn)yx和yx(2)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)k0時(shí)兩支曲線(xiàn)分別位于一、三象限且每一象限內(nèi)y隨x的增大而減�。�3）

　　k0時(shí)兩支曲線(xiàn)分別位于二、四象限且每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大（4）過(guò)圖象上任一點(diǎn)作x軸與y軸的垂線(xiàn)與坐標(biāo)軸構(gòu)成的矩形面積為|k|。

　　P（1）應(yīng)用在u3.應(yīng)用（2）應(yīng)用在（3）其它F上SS上t其要點(diǎn)是會(huì)進(jìn)行“數(shù)結(jié)形合”來(lái)解決問(wèn)題二、二次函數(shù)

　　1.定義：應(yīng)注意的問(wèn)題

　�。�1）在表達(dá)式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c中（a、b、c為常數(shù)且a≠0）（2）二次項(xiàng)指數(shù)一定為22.圖象：拋物線(xiàn)

　　3.圖象的性質(zhì)：分五種情況可用表格來(lái)說(shuō)明表達(dá)式(1)y=ax2頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸(0，0)最大（�。┲祔最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0，0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x－(h，0)h)2直線(xiàn)x=hy最小=0y最大=0y隨x的變化情況隨x增大而增大隨x增大而減小隨x的增大而增大隨x的增大而減小隨x的增大而增大隨x的增大而減小直線(xiàn)x=0(y軸)①若a>0，則x=0時(shí)，若a>0，則x>0時(shí)，y②若a0，則x=0時(shí)，①若a>0，則x>0時(shí)，y②若a0，則x=h時(shí)，①若a>0，則x>h時(shí)，y②若a學(xué)大教育

　　表達(dá)式h)2+k頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=h最大（小）值y最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay隨x的變化情況隨x的增大而增大隨x的增大而減小b2a時(shí)，①若a>0，則x>b2a(4)y=a(x－(h，k)①若a>0，則x=h時(shí)，①若a>0，則x>h時(shí)，y②若a0，則x=4acb24ay最小=4acb24ab時(shí)，y隨x的增大而增大時(shí)，②若a2a2a時(shí)，y隨x的`增大而減小b②若a學(xué)大教育

　　一次函數(shù)圖象和性質(zhì)

　　【知識(shí)梳理】

　　1．正比例函數(shù)的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函數(shù)的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函數(shù)ykxb的圖象是經(jīng)過(guò)（3.一次函數(shù)ykxb的圖象與性質(zhì)

　　圖像的大致位置經(jīng)過(guò)象限第象限第象限第象限第象限y隨x的增大y隨x的增大而y隨x的增大y隨x的增大性質(zhì)而而而而

　　【思想方法】數(shù)形結(jié)合

　　k、b的符號(hào)k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0b，0）和（0，b）兩點(diǎn)的一條直線(xiàn).k反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)

　　【知識(shí)梳理】

　　1．反比例函數(shù)：一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y＝或（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱(chēng)y是x的反比例函數(shù)．2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

　　k的符號(hào)k＞0yoxk＜0yox

　　圖像的大致位置經(jīng)過(guò)象限性質(zhì)

　　第象限在每一象限內(nèi),y隨x的增大而第象限在每一象限內(nèi),y隨x的增大而3．k的幾何含義：反比例函數(shù)y＝的幾何意義，即過(guò)雙曲線(xiàn)y＝

　　k(k≠0)中比例系數(shù)kxk(k≠0)上任意一點(diǎn)P作x4

　　x軸、y軸垂線(xiàn)，設(shè)垂足分別為A、B，則所得矩形OAPB

　　函數(shù)學(xué)習(xí)方法學(xué)大教育

　　的面積為.

　　【思想方法】數(shù)形結(jié)合

　　二次函數(shù)圖象和性質(zhì)

　　【知識(shí)梳理】

　　1.二次函數(shù)ya(xh)2k的圖像和性質(zhì)

　　圖象開(kāi)口對(duì)稱(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值增減性

　　在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)當(dāng)x＝時(shí)，y有最值y隨x的增大而y隨x的增大而a＞0yOa＜0x當(dāng)x＝時(shí)，y有最值y隨x的增大而y隨x的增大而銳角三角函數(shù)

　　【思想方法】

　　1.常用解題方法設(shè)k法2.常用基本圖形雙直角

　　【例題精講】例題1.在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=

　　14，則tanB=______;（2）若cosA=，則tanB=______．255

　　函數(shù)學(xué)習(xí)方法學(xué)大教育

　　例題2.（1）已知：cosα=

　　23，則銳角α的取值范圍是（）A．0°

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)9

　　課題

　　3.5正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1、掌握正（反）比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的概念及其圖形和性質(zhì)2、會(huì)用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　掌握正（反）比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的概念及其圖形和性質(zhì)

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　掌握正（反）比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的概念及其圖形和性質(zhì)

　　教學(xué)方法

　　講練結(jié)合法

　　教學(xué)過(guò)程

　�。↖）知識(shí)要點(diǎn)（見(jiàn)下表：）

　　第三章第29頁(yè)函數(shù)名稱(chēng)解析式圖像正比例函數(shù)ykx（k0）0x反比例函數(shù)一次函數(shù)ykxb（k0）0x二次函數(shù)yax2bxc（a0）y0xy0xky（k0）xyxy0xyy0xy0xyk0k0k0k0k0k0a0a0圖像過(guò)點(diǎn)（0，0）及（1，k）的直線(xiàn)雙曲線(xiàn)，x軸、y軸是它的漸近線(xiàn)與直線(xiàn)ykx平行且過(guò)點(diǎn)（0，b）的直線(xiàn)拋物線(xiàn)定義域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0時(shí)，y,4aR值域R4acb2a0時(shí)，y,4aba0時(shí)，在－,上為增2a函數(shù)，在,－單調(diào)性k0時(shí)，在,0，k0時(shí)為增函數(shù)0,上為減函數(shù)k0時(shí)，為增函數(shù)b上為減函數(shù)2ak0時(shí)為減函數(shù)k0時(shí)，在,0，k0時(shí)，為減函數(shù)0,上為增函數(shù)ba0時(shí)，在－,上為減2a函數(shù)，在,－b上為增函數(shù)2a奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)b=0時(shí)奇函數(shù)b=0時(shí)偶函數(shù)a0且x－ymin最值無(wú)無(wú)無(wú)b時(shí)，2a24acb4ab時(shí)，2a24acb4aa0且x－ymax

　　第三章第30頁(yè)b24acb2注：二次函數(shù)yaxbxca(x（a0）)a(xm)(xn)2a4abb4acb2對(duì)稱(chēng)軸x，頂點(diǎn)(，)

　　2a2a4a2拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)(m，0)，(n，0)（II）例題講解

　　例1、求滿(mǎn)足下列條件的`二次函數(shù)的解析式：（1）拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（1，1），B（2，2），C（4，2）（2）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P（1，5）且過(guò)點(diǎn)Q（3，3）

　　（3）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是x2，它在x軸上截出的線(xiàn)段AB長(zhǎng)為2且拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（1，7）。2，

　　解：（1）設(shè)yax2bxc(a0)，將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，可得方程組為

　　abc1a1解得b4yx24x24a2bc216a4bc2c2（2）設(shè)二次函數(shù)為ya(x1)25，將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入，即a(31)253，得

　　a2，故y2(x1)252x24x3

　　（3）∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x2；

　　∴拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B應(yīng)關(guān)于x2對(duì)稱(chēng)；∴由題設(shè)條件可得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2∴可設(shè)函數(shù)解析式為：ya(x2代入方程可得a1

　　∴所求二次函數(shù)為yx24x2，

　　2，0)、B(222，0)

　　2)(x22)a(x2)22a，將（1，7）

　　5)，例2：二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（0，8），(1，（4，0）

　　（1）求函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、最值及單調(diào)區(qū)間（2）當(dāng)x取何值時(shí)，①y≥0，②y（2）由y0可得x22x80，解得x4或x2由y0可得x22x80，解得2x4

　　例3：求函數(shù)f(x)x2x1，x[1，1]的最值及相應(yīng)的x值

　　113x1(x)2，知函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x

　　224111]上是增函數(shù)�！嘁李}設(shè)條件可得f(x)在[1，]上是減函數(shù)，在[，22131]時(shí)，函數(shù)取得最小值，且ymin∴當(dāng)x[1，24131又∵11

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)10

　　一、函數(shù)

　�。�1）定義：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是因變量，此時(shí)，也稱(chēng)y是x的函數(shù)。

　�。�2）本質(zhì)：一一對(duì)應(yīng)關(guān)系或多一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

　　有序?qū)崝?shù)對(duì)平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)

　�。�3）表示方法：解析法、列表法、圖象法。

　�。�4）自變量取值范圍：

　　對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，自變量取值必須使實(shí)際問(wèn)題有意義；

　　對(duì)于純數(shù)學(xué)問(wèn)題，自變量取值必須保證函數(shù)關(guān)系式有意義：

　　①分式中，分母≠0；

　�、诙胃街校婚_(kāi)方數(shù)≥0；

　　③整式中，自變量取全體實(shí)數(shù)；

　�、芑旌线\(yùn)算式中，自變量取各解集的公共部份。

　　二、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)

　　兩函數(shù)的異同點(diǎn)

　　三、一次函數(shù)（圖象為直線(xiàn)）

　　（1）定義式：y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）；自變量取全體實(shí)數(shù)。

　�。�2）性質(zhì)：

　　①k>0，過(guò)第一、三象限，y隨x的`增大而增大；

　　k<0，過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　②b=0，圖象過(guò)（0，0）；

　　b>0，圖象與y軸的交點(diǎn)（0，b）在x軸上方；

　　b<0，圖象與y軸的交點(diǎn)（0，b）在x軸下方。

　　四、二次函數(shù)（圖象為拋物線(xiàn)）

　�。�1）自變量取全體實(shí)數(shù)

　　一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），其中（0，c）為拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)；

　　頂點(diǎn)式：y=a（x—h）2+k（a、h、k為常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)；

　　h=—，k=零點(diǎn)式：y=a（x—x1）（x—x2）（a、x1、x2為常數(shù)，a≠0）其中（x1，0）、（x2，0）為拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)。x1、x2 =（b 2 —4ac ≥0）

　�。�2）性質(zhì)：

　　①對(duì)稱(chēng)軸：x=—或x=h；

　�、陧旤c(diǎn)：（—，）或（h，k）；

　　③最值：當(dāng)x=—時(shí)，y有最大（�。┲�，為或當(dāng)x=h時(shí)，y有最大（�。┲�，為k；

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)11

　　1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：|k360,kZ

　�、诮K邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ

　�、芙K邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|k90,kZ

　�、萁K邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的'集合：|k18045,kZ

　�、呷艚桥c角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則角與角的關(guān)系：360k

　�、嗳艚桥c角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角與角的關(guān)系：360k180

　　⑨若角與角的終邊在一條直線(xiàn)上，則角與角的關(guān)系：180k

　�、饨桥c角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：360k902.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′3、弧長(zhǎng)公式：l||r.扇形面積公式：s12扇形2lr12||r

　　2、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）

　　yy+y+-+-+-o-x-o+x+o-x正弦、余割余弦、正割正切、余切

　　3.三角函數(shù)的定義域：

　　三角函數(shù)定義域f(x)sinxx|xRf(x)cosxx|xRf(x)tanxx|xR且xk1,kZ2

　　f(x)cotxx|xR且xk,kZ

　　4、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

　　sincostan

　　cossincot

　　tancot1sin2cos217、誘導(dǎo)公式：

　　把k2“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：三角函數(shù)的公式：

　�。ㄒ唬┗娟P(guān)系

　　公式組一sinxcscx=1tanx=sinx22

　　cosxsinx+cosx=1cosxsecx=1x=cosx2sinx1+tanx=sec2xtanxcotx=11+cot2x=csc2x

　　公式組二公式組三

　　sin(2kx)sinxsin(x)sinxcos(2kx)cosxcos(x)cosxtan(2kx)tanxtan(x)tanxcot(2kx)cotxcot(x)cotx

　　公式組四公式組五sin(x)sinxsin(2x)sinxcos(x)cosxcos(2x)cosxtan(x)tanxtan(2x)tanxcot(x)cotx

　　cot(2x)cotx（二）角與角之間的互換

　　cos()coscossinsincos()coscossinsin

　　公式組六

　　sin(x)sinxcos(x)cosxtan(x)tanx

　　cot(x)cotxsin22sincos-2-

　　cos2cos2sin2cos112sin

　　2tan1tan2222sin()sincoscossintan2sin()sincoscossintan()tantan1tantan

　　tantan1tantan

　　tan()

　　5.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：

　　ysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、＞0）定義域RR值域周期性奇偶性單調(diào)性[1,1][1,1]1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZRRR奇函數(shù)A,A22奇函數(shù)2當(dāng)當(dāng)0,非奇非偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)0,上為上為上為增函上為增函數(shù)；上為增增函數(shù)；增函數(shù)；數(shù)；上為減函數(shù)函數(shù)；上為減函數(shù)上為減上為減上為減函數(shù)函數(shù)函數(shù)注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.②ysinx與的ycosx周期是.

　　▲y

　　0）的周期T③ysin(x)或yx2cos(x)（2.

　　ytan的周期為2（TT2，如圖，翻折無(wú)效）.

　　④ysin(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程是xk2（

　　kZ），對(duì)稱(chēng)中心（

　　12k,0）；

　　ycos(x)的對(duì)稱(chēng)軸方程是xk（

　　kZ），對(duì)稱(chēng)中心（k,0）；

　　yatn(

　　x)的對(duì)稱(chēng)中心（

　　k2,0）.

　　三角函數(shù)圖像

　　數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2||，頻率f1T||2，相位x;初

　　相（即當(dāng)x＝0時(shí)的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），

　　由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來(lái)的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

　　由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來(lái)的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用

　　ωx替換x)

　　由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

　　由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動(dòng)｜b｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

　　由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)12

　　一、二次函數(shù)概念：

　　a0）b，c是常數(shù)

　　1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，數(shù)．

　　2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征：

　　⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．

　�、芶，二、二次函數(shù)的基本形式

　　1.二次函數(shù)基本形式：yax2的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。

　　a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸向上00，00，性質(zhì)x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨y軸x的增大而減小；x0時(shí)，y有最小值0．x0時(shí)，y隨x的增大而減�。粁0時(shí)，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．

　　2.yax2c的性質(zhì)：上加下減。

　　a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸向上c0，c0，性質(zhì)x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨y軸x的增大而減小；x0時(shí)，y有最小值c．x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．

　　3.yaxh的性質(zhì)：左加右減。

　　2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸向上0h，0h，性質(zhì)xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨X=hx的增大而減�。粁h時(shí)，y有最小值0．xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y隨a02向下X=hx的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．

　　4.yaxhk的性質(zhì)：

　　a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a0向上h，kh，kX=hxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y有最小值k．xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．

　　三、二次函數(shù)圖象的平移

　　1.平移步驟：

　　方法一：

　�、艑佄锞€(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k；

　�、票３謷佄锞€(xiàn)yax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下：

　　向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

　　畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

　　六、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

　　b4acb2b1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．

　　2a4a2a當(dāng)xbbb時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y有最小2a2a2a4acb2值．

　　4ab4acb2bb2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，y隨．當(dāng)x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x時(shí)，y有最大值

　　2a2a4a

　　七、二次函數(shù)解析式的表示方法

　　1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

　　2.頂點(diǎn)式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

　　3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

　　注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)，即b24ac0時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

　　八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

　　1.二次項(xiàng)系數(shù)a

　　二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

　　⑴當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，a的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越小，開(kāi)口越大；

　�、飘�(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，a的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越大，開(kāi)口越大．

　　總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的`大�。�

　　2.一次項(xiàng)系數(shù)b

　　在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．

　�、旁赼0的前提下，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；2ab0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；2ab0，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)．2a⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)；2ab0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；2ab0，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)．2a

　　總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置．

　　ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱(chēng)軸xb在y軸左邊則ab0，在y軸的右側(cè)則ab0，概括的說(shuō)就是“左同2a右異”總結(jié)：

　　3.常數(shù)項(xiàng)c

　�、女�(dāng)c0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；

　　⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；

　�、钱�(dāng)c0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置．

　　b，c都確定，那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數(shù)解析式的確定：

　　根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问�，才能使解題簡(jiǎn)便．一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：

　　1.已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

　　2.已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（�。┲�，一般選用頂點(diǎn)式；

　　3.已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

　　4.已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

　　九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)

　　二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

　　1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

　　yax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax2bxc；

　　yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk；

　　2.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

　　yax2bxc關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax2bxc；

　　22yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk；

　　3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

　　yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk；

　　4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）

　　2222b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxbxc；

　　2a22yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk．n對(duì)稱(chēng)

　　5.關(guān)于點(diǎn)m，n對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點(diǎn)m，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)（或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式．

　　十、二次函數(shù)與一元二次方程：

　　1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

　　一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

　�、佼�(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

　　b24ac方程axbxc0a0的兩根．這兩點(diǎn)間的距離ABx2x1.

　　②當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

　�、郛�(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

　　1"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；

　　2"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．

　　2.拋物線(xiàn)yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；

　　3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

　　⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

　�、魄蠖魏瘮�(shù)的最大（�。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮�(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

　　⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

　�、榷魏瘮�(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

　�、膳c二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

　　0拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)0二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.0拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)y=2x2y=x2y=3(x+4)2二次函數(shù)圖像參考：

　　y=3x2y=3(x-2)2y=x22

　　y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2十一、函數(shù)的應(yīng)用

　　剎車(chē)距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤(rùn)

　　最大面積是多少y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)13

　　特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax+bx+c。

　　當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），即ax+bx+c=0。

　　此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

　　1.二次函數(shù)y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同。當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)的圖象可由拋物線(xiàn)y=ax向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到。

　　當(dāng)h<0時(shí)，則向xxx移動(dòng)|h|個(gè)單位得到。

　　當(dāng)h>0，k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)+k的圖象。

　　當(dāng)h>0，k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)y=ax向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)+k的圖象。

　　當(dāng)h<0，k>0時(shí)，將拋物線(xiàn)向xxx移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)+k的圖象。

　　當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線(xiàn)向xxx移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)+k的圖象。

　　因此，研究拋物線(xiàn)y=ax+bx+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(x-h)+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸，拋物線(xiàn)的大體位置就很清楚了．這給畫(huà)圖象提供了方便。

　　2.拋物線(xiàn)y=ax+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a<0時(shí)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b]/4a)。

　　3.拋物線(xiàn)y=ax+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大．若a<0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小。

　　4.拋物線(xiàn)y=ax+bx+c的.圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：

　　(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)。

　　(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=|x-x|。

　　當(dāng)△=0．圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△<0．圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0；當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0。

　　5.拋物線(xiàn)y=ax+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b)/4a。

　　頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值。

　　6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

　　(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：y=ax+bx+c(a≠0)。

　　(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)+k(a≠0)。

　　(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)14

　　一、函數(shù)的概念與表示

　　1、映射

　　(1)映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種映射法則f，對(duì)于集合A中的任一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A、B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。

　　注意點(diǎn)：(1)對(duì)映射定義的理解。(2)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射的方法。一對(duì)多不是映射，多對(duì)一是映射

　　2、函數(shù)

　　構(gòu)成函數(shù)概念的三要素

　�、俣x域②對(duì)應(yīng)法則③值域

　　兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件：三要素有兩個(gè)相同

　　二、函數(shù)的解析式與定義域

　　1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

　　(1)分式的分母不為零;

　　(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義;

　　(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

　　(4)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

　　三、函數(shù)的值域

　　1求函數(shù)值域的方法

　�、僦苯臃ǎ簭淖宰兞縳的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù);

　　②換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式;

　�、叟袆e式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;

　�、芊蛛x常數(shù)：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時(shí)要畫(huà)圖);

　�、輪握{(diào)性法：利用函數(shù)的.單調(diào)性求值域;

　�、迗D象法：二次函數(shù)必畫(huà)草圖求其值域;

　�、呃脤�(duì)號(hào)函數(shù)

　　⑧幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對(duì)值函數(shù)

　　四.函數(shù)的奇偶性

　　1.定義:設(shè)y=f(x)，x∈A，如果對(duì)于任意∈A，都有，則稱(chēng)y=f(x)為偶函數(shù)。

　　如果對(duì)于任意∈A，都有，則稱(chēng)y=f(x)為奇

　　函數(shù)。

　　2.性質(zhì)：

　�、賧=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

　�、谌艉瘮�(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則f(0)=0

　�、燮妗榔�=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1，D2，D1∩D2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)]

　　3.奇偶性的判斷

　�、倏炊x域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)②看f(x)與f(-x)的關(guān)系

　　五、函數(shù)的單調(diào)性

　　1、函數(shù)單調(diào)性的定義：

　　2設(shè)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)15

　　第一、求函數(shù)定義域題忽視細(xì)節(jié)函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，考生想要在考場(chǎng)上準(zhǔn)確求出定義域，就要根據(jù)函數(shù)解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來(lái)，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)的定義域。

　　在求一般函數(shù)定義域時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：分母不為0;偶次被開(kāi)放式非負(fù);真數(shù)大于0以及0的0次冪無(wú)意義。函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集，在解答函數(shù)定義域類(lèi)的題時(shí)千萬(wàn)別忘了這一點(diǎn)。復(fù)合函數(shù)要注意外層函數(shù)的定義域由內(nèi)層函數(shù)的值域決定。

　　第二、帶絕對(duì)值的函數(shù)單調(diào)性判斷錯(cuò)誤帶絕對(duì)值的函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是分段函數(shù)，判斷分段函數(shù)的單調(diào)性有兩種方法：第一，在各個(gè)段上根據(jù)函數(shù)的解析式所表示的函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間，然后對(duì)各個(gè)段上的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行整合;第二，畫(huà)出這個(gè)分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)能夠進(jìn)行直觀(guān)的判斷。函數(shù)題離不開(kāi)函數(shù)圖象，而函數(shù)圖象反應(yīng)了函數(shù)的.所有性質(zhì)，考生在解答函數(shù)題時(shí)，要第一時(shí)間在腦海中畫(huà)出函數(shù)圖象，從圖象上分析問(wèn)題，解決問(wèn)題。

　　對(duì)于函數(shù)不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，千萬(wàn)記住，不要使用并集，指明這幾個(gè)區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可。

　　第三、求函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)錯(cuò)誤求函數(shù)奇偶性類(lèi)的題最常見(jiàn)的錯(cuò)誤有求錯(cuò)函數(shù)定義域或忽視函數(shù)定義域，對(duì)函數(shù)具有奇偶性的前提條件不清，對(duì)分段函數(shù)奇偶性判斷方法不當(dāng)?shù)鹊�。判斷函�?shù)的奇偶性，首先要考慮函數(shù)的定義域，一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數(shù)的定義域區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果不具備這個(gè)條件，函數(shù)一定是非奇非偶的函數(shù)。在定義域區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的前提下，再根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷。

　　在用定義進(jìn)行判斷時(shí)，要注意自變量在定義域區(qū)間內(nèi)的任意性。

　　第四、抽象函數(shù)推理不嚴(yán)謹(jǐn)很多抽象函數(shù)問(wèn)題都是以抽象出某一類(lèi)函數(shù)的共同“特征”而設(shè)計(jì)的，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，考生可以通過(guò)類(lèi)比這類(lèi)函數(shù)中一些具體函數(shù)的性質(zhì)去解決抽象函數(shù)。多用特殊賦值法，通過(guò)特殊賦可以找到函數(shù)的不變性質(zhì)，這往往是問(wèn)題的突破口。

　　抽象函數(shù)性質(zhì)的證明屬于代數(shù)推理，和幾何推理證明一樣，考生在作答時(shí)要注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。每一步都要有充分的條件，別漏掉條件，更不能臆造條件，推理過(guò)程層次分明，還要注意書(shū)寫(xiě)規(guī)范。

　　第五、函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，且有f(a)f(b)<0。那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0。這個(gè)c也可以是方程f(c)=0的根，稱(chēng)之為函數(shù)的零點(diǎn)定理，分為“變號(hào)零點(diǎn)”和“不變號(hào)零點(diǎn)”，而對(duì)于“不變號(hào)零點(diǎn)”，函數(shù)的零點(diǎn)定理是“無(wú)能為力”的，在解決函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，考生需格外注意這類(lèi)問(wèn)題。

　　第六、混淆兩類(lèi)切線(xiàn)曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的曲線(xiàn)的切線(xiàn)，這樣的切線(xiàn)只有一條;曲線(xiàn)的過(guò)一個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)是指過(guò)這個(gè)點(diǎn)的曲線(xiàn)的所有切線(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)如果在曲線(xiàn)上當(dāng)然包括曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)，曲線(xiàn)的過(guò)一個(gè)點(diǎn)的切線(xiàn)可能不止一條。

　　因此，考生在求解曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，首先要區(qū)分是什么類(lèi)型的切線(xiàn)。

　　第七、混淆導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)的這類(lèi)題型，如果考生認(rèn)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大于0，很容易就會(huì)出錯(cuò)。

　　解答函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系時(shí)一定要注意，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增(減)的充要條件是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大(小)于等于0，且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為零。

　　第八、導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清考生在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值類(lèi)問(wèn)題時(shí)，容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤就是求出使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)，卻沒(méi)有對(duì)這些點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)，往往就會(huì)出錯(cuò)，出錯(cuò)原因就是考生對(duì)導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系沒(méi)搞清楚�？蓪�(dǎo)函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為零只是這個(gè)函數(shù)在此點(diǎn)處取到極值的必要條件，小編在此提醒廣大考生，在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，一定要對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行仔細(xì)檢查。