初三數(shù)學(xué)《兩角差的余弦公式》說(shuō)課稿

2021-06-15 說(shuō)課稿

　　各位評(píng)委、各位老師：

　　大家上午好。

　　今天我們上課的內(nèi)容是《兩角差的余弦公式》。

　　首先，我們看兩個(gè)問(wèn)題：

　　(1) cos( π —α ) = ?

　　(2) cos( 2π — α) = ?

　　大家根據(jù)誘導(dǎo)公式很快得出了答案，大家接著思考一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)特殊角π和2π被一般角取代，

　　(3) cos( α-β ) = ?

　　大家猜想了多種可能，其中有同學(xué)猜想cos(α-β) = cosα-cosβ 那么這些結(jié)論是否成立?

　　我們一起來(lái)用計(jì)算器驗(yàn)證。

　　在這里我們做了與單位圓相交的兩個(gè)角α，β，現(xiàn)在我們來(lái)一起模擬計(jì)算下大家猜想的幾組結(jié)論。首先任意取一組α，β角，模擬計(jì)算出 cos(α-β ); cosα-cosβ; sin α- sinβ; co sα-sin β;由結(jié)果推翻假設(shè)(反證法)，那么c o s ( α-β )到底等于什么呢? 現(xiàn)在我們來(lái)借助計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算功能，由c o s ( α-β )的結(jié)果模擬可能的`答案。

　　計(jì)算機(jī)模擬結(jié)論

　　cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ(黑板板書(shū))。

　　變換不同的α，β角度，結(jié)論保持不變。同學(xué)們觀察分析該結(jié)論的構(gòu)成，右邊與向量夾角的坐標(biāo)表示一致.

　　聯(lián)想向量數(shù)量積(黑板板書(shū))，用向量法證明:

　　(1)先假設(shè)兩向量夾角為θ，α–β在[0，π]，α–β=θ此時(shí)結(jié)論成立，(2)α–β在[π，2π]時(shí)兩向量夾角θ=2π-(α–β)

　　此時(shí) cos[2π-(α–β)]=cos(α–β)

　　(3)α–β在全體實(shí)數(shù)范圍都可以由誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)換到[0，2π] 綜合三種情況，cos(α–β)=cosαcos β+ sinαsinβ。得證

　　經(jīng)過(guò)大家的猜想，計(jì)算，證明，我們得出兩角差的余弦公式，有些同學(xué)開(kāi)始產(chǎn)生疑問(wèn)，我們最開(kāi)始的兩個(gè)誘導(dǎo)公式是否出現(xiàn)了錯(cuò)誤，都是兩角差的余弦，結(jié)論似乎不一致，現(xiàn)在我們一起來(lái)探討，揭開(kāi)謎底。

　　用兩角差的余弦公式證明問(wèn)題(1)(2)。

　　帶入具體角度，用兩角差余弦公式求cos15°= cos(45°— 30°)，同學(xué)們?cè)囍鴮?5°分成(60°-45°)。(分成17°-2°是否可行)

　　練習(xí)：

　　證明: cos (α +β)= cos α cos β-sin α sin β

　　思考 : 能否參考兩角差的余弦公式進(jìn)行推導(dǎo)?

　　我們的新課改提倡“減負(fù)”，從數(shù)學(xué)的角度，減負(fù)就是---“加正”，

　　所以 α +β = α - (- β )

　　由此cos (α +β)

　　= cos [α - (- β )]

　　=cosα cos( -β) +sin α sin(-β)

　　= cosα cosβ-sin α sin β

　　對(duì)比: