數學平面向量課后題

2021-06-29 試題

　　數學的必修四便會學習到平面向量，這和物理必修一的內容也有一定的相關性，所以，我們更應該學好這一知識點。分享了數學平面向量的課后題及答案，一起來看看吧！

　　一、選擇題

　　1．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(2m， m＋1)．若AB→∥OC→，則實數m的值為( )

　　A．－3 B．－17

　　C．－35 D.35

　　解析 AB→＝OB→－OA→＝(3,1)，因為AB→∥OC→，

　　所以3(m＋1)－2m＝0，解得m＝－3.

　　答案 A

　　2．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，則a與b的夾角為( )

　　A.π6 B.π3

　　C.π2 D.2π3

　　解析由(a＋2b)(a－b)＝|a|2＋ ab－2|b|2＝－2，得ab＝2，即|a||b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝12.故〈a，b〉＝π3.

　　答案 B

　　3．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝( )

　　A．－2 B．－1

　　C．1 D．2

　　解析 ∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又∵c與a的夾角等于c與b的夾角，∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉．∴ca|c||a|＝cb|c||b|.即5m＋85|c|＝8m＋2025|c|，解得m＝2.

　　答案 D

　　4．)若向量a，b滿足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，則|b|＝( )

　　A．2 B.2

　　C．1 D.22

　　解析 ∵(a＋b)⊥a，|a|＝1，∴(a＋b)a＝0，

　　∴|a|2＋ab＝0，∴ab＝－1.

　　又∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)b＝ 0.

　　∴2ab＋|b|2＝0.∴|b|2＝2.

　　∴|b|＝2，選B.

　　答案 B

　　5．設△ABC的三個內角為A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若mn＝1＋cos(A＋B)，則C＝( )

　　A.π6 B.π3

　　C.2π3 D.5π6

　　解析依題意得 3sinAcosB＋3cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，

　　3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，3sinC＋cosC＝1，

　　2sinC＋π6＝1，sinC＋π6＝12.又π6<C＋π6<7π6，

　　因此C＋π6＝5π6，C＝2π3，選C.

　　答案 C

　　6．在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|<12，則|OA→|的取值范圍是( )

　　A.0，52 B .52，72

　　C.52，2 D.72，2

　　解析由題意得點B1，B2在以O為圓心，半徑為1的圓上，點P在以O為圓心半徑為12的圓內，又AB1→⊥AB2→，AP→＝AB1→＋AB2→，所以點A在以B1B2為直徑的圓上，當P與O點重合時，|OA→|最大為2，當P在半徑為12的圓周上，|OA→|最小為72.∵P在圓內，∴|OA→|∈72，2.

　　答案 D

　　二、填空題

　　7．已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且λ a＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________.

　　解析 |b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa，

　　故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b||a|＝51＝5.

　　答案 5

　　8．在△ABC中，BO為邊AC上的中線，BG→＝2GO→，若CD→∥AG→，且AD→＝15AB→＋λAC→(λ∈R)，則λ的`值為________．

　　解析因為CD→∥AG→，所以存在實數k，使得CD→＝kAG→.CD→＝AD→－AC→＝15AB→＋(λ－1)AC→，又由BO是△ABC的邊AC上的中線，BG→＝2GO→，得點G為△ABC的重心，所以AG→＝13(AB→＋AC→)，所以15AB→＋(λ－1)AC→＝k3(AB→＋AC→)，由平面向量基本定理可得15＝k3，λ－1＝k3，解得λ＝65.

　　答案 65

　　9．在△ABC所在的平面上有一點P滿足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，則△PBC與△ABC的面積之比是________．

　　解析因為PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PB→＋PC→＋BA→＝0，即PC→＝2AP→，所以點P是CA邊上靠近A點的一個三等分點，故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.

　　答案 23

　　三、解答題

　　10．已知向量AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)，a∈R

　　(1)若D為BC中點，AD→＝(m,2)，求a，m的值；

　　(2)若△ABC是直角三角形，求a的值．

　　解 (1)因為AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)，

　　所以AD→＝12(AB→＋AC→)＝1，1＋a2.

　　又AD→＝(m,2)，所以m＝1，1＋a＝2×2，解得a＝3，m＝1.

　　(2)因為△ABC是直角三角形，所以A＝90°或B＝90°或C＝90°.

　　當A＝90°時，由AB→⊥AC→，

　　得3×(－1)＋1a＝0，所以a＝3；

　　當B＝90°時，因為BC→＝AC→－AB→＝(－4，a－1)，

　　所以由AB→⊥BC→，

　　得3×(－4)＋1(a－1)＝0，所以a＝13；

　　當C＝90° 時，由BC→⊥AC→，

　　得－1×(－4)＋a(a－1)＝0，

　　即a2－a＋4＝0，因為a∈R，所以無解．

　　綜上所述，a＝3或a＝13.

　　11．在△ABC中，已知2AB→AC→＝3|AB→||AC→|＝3BC→2，求角A、B、C的大�。�

　　解設BC＝a，AC＝b，AB＝c.

　　由2AB→AC→＝3|AB→||AC→|，得2bccosA＝3bc，

　　所以cosA＝32.

　　又A∈(0，π)，因此A＝π6.

　　由3|AB→||AC→|＝3BC→2，得cb＝3a2.

　　于是sinCsinB＝3sin2A＝34.

　　所以sinCsin5π6－C＝34.

　　sinC12cosC＋32sinC＝34，

　　因此2sinCcosC＋23sin2C＝3，

　　sin2C－3cos2C＝0，

　　即2sin2C－π3＝0.

　　由A＝π6知0<C<5π6，

　　所以－π3<2C－π3<4π3，

　　從而2C－π3＝0，或2C－π3＝π，

　　即C＝π6或C＝2π3，

　　故A＝π6，B＝2π3，C＝π6，或A＝π6，B＝π6，C＝2π3.

　　B級——能力提高組

　　已知正三角形ABC的邊長為1，點P是AB邊上的動點，點Q是AC邊上的動點，且AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→ ，λ∈R，則BQ→CP→的最大值為( )

　　A.32 B．－32

　　C.38 D．－38

　　解析，BQ→CP→＝(BA→＋AQ→)(CA→＋AP→)＝[BA→＋(1－λ)AC→](CA→＋λAB→)＝AB→AC→－λAB→ 2－(1－λ)AC→2＋λ(1－λ)AB→AC→＝(λ－λ2＋1)×cos60°－λ＋λ－1＝－12λ－122－38，0≤λ≤1，所以當λ＝12時，BQ→CP→的最大值為－38，選D.

　　答案 D

　　2．已知兩個不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個a和3個b排列而成．記S＝x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＋x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值．則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．

　�、賁有5個不同的值；

　　②若a⊥b，則Smin與|a|無關；

　�、廴鬭∥b，則Smin與|b|無關；

　　④若|b|>4|a|，則Smin>0；

　�、萑魘b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，則a與b的夾角為π4.

　　解析對于①，若a，b有0組對應乘積，則S1＝2a2＋3b2，若a，b有2組對應乘積，則S2＝a2＋2b2＋2ab，若a，b有4組對應乘積，則S3＝b2＋4ab，所以S最多有3個不同的值，①錯誤；因為a，b是不等向量，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4ab＝2(a－b)2>0，S1－S2＝a2 ＋b2－2ab＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S30，④正確；對于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cosθ＝8|a|2，所以cosθ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，⑤錯誤．因此正確命題是②④.

　　答案 ②④

　　3．已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.

　　(1)若mn＝1，求cos2π3－x的值；

　　(2)記f(x)＝mn，在△ABC中，角A ，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cosB＝bcosC，求函數f(A)的取值范圍．

　　解 (1)mn＝3sinx4cosx4＋cos2x4

　�。�32sin x2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12.

　　又∵mn＝1，∴sinx2＋π6＝12.

　　cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，

　　cos2π3－x＝－ cosx＋π3＝－12.

　　(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，

　　由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，

　　∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.