在學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí)，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過如下兩個(gè)結(jié)論：
(1)連結(jié)兩點(diǎn)的所有線中，直線段是最短的;
(2)直線外的一個(gè)定點(diǎn)與直線上的各點(diǎn)的連線以垂線為最短.
利用這兩個(gè)結(jié)論可以解決許多實(shí)際生活中求最短路線的問題.
例1甲、乙兩村之間隔一條河，如圖13—1.現(xiàn)在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應(yīng)修在何處?
分析：設(shè)甲、乙兩村分別用點(diǎn)a、b表示.要在河上架橋，關(guān)鍵是要選取一個(gè)最佳建橋的位置，使得從甲村出發(fā)經(jīng)過橋到乙村的路程最短.即從甲村到甲村河邊的橋頭的距離加上橋長(相當(dāng)于河的寬度)，再加上乙村到乙村河邊的橋頭的距離盡可能短，這是一個(gè)求最短折線的問題.直接找出這條折線很困難，能否可以把它轉(zhuǎn)化為直線問題呢?由于河的寬度不變，不論橋修在哪里，橋都是必經(jīng)之路，且橋長相當(dāng)于河寬，是一個(gè)定值，所以可以預(yù)先把這段距離扣除，只要使兩鎮(zhèn)到河邊橋頭的距離最短就可以了.
所謂預(yù)先將橋長扣除，就是假設(shè)先走完橋長，即先把橋平移到甲村，先過了橋，到c點(diǎn)，如圖13—2，找出c到b的最短路線，實(shí)際上求最短折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題.
解：如圖13—2.過a點(diǎn)作河岸的垂線，在垂線上截取ac的長等于河寬.連bc交與乙村的河岸于f點(diǎn)，作ef垂直于河的另一岸于e點(diǎn)，則ef為架橋的位置，也就是ae+ef+fb是兩村的最短路線.
例2如圖13—3，a、b兩個(gè)學(xué)校都在公路的同側(cè).想在這兩校的附近的公路上建一個(gè)汽車站，要求車站到兩個(gè)學(xué)校的距離之和最小，應(yīng)該把車站建在哪里?
分析：車站建在哪里，使得a到車站與b到車站的距離之和最小，仍然是求最短折線問題，同例1一樣關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成直線問題就好辦了.采用軸對(duì)稱(直線對(duì)稱)作法.
解：作點(diǎn)b關(guān)于公路(將公路看作是一條直線)的對(duì)稱點(diǎn)b′，如圖13—4，即過b點(diǎn)作公路(直線)的垂線交直線于o，并延長bo到b′，使bo=ob′.連結(jié)ab′交直線于點(diǎn)e，連be，則車站應(yīng)建在e處，并且折線aeb為最短.
為什么這條折線是最短的呢?分兩步說明：
(1)因?yàn)閎與b′關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)知，對(duì)稱軸上的點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的距離相等，有be=b′e，所以
ab′=ae+eb′=ae+eb
(2)設(shè)e′是直線上不同于e的任意一點(diǎn)，如圖13—5，連結(jié)ae′、e′b、e′b′，可得
ae′+e′b=ae′+e′b′>ab′(兩點(diǎn)之間線段最短)
上式說明，如果在e點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)建車站，所行的路程都大于折線aeb.
所以折線aeb最短.
例3如圖13—6，河流ef與公路fd所夾的角是一個(gè)銳角，某公司a在銳角efd內(nèi).現(xiàn)在要在河邊建一個(gè)碼頭，在公路邊修建一個(gè)倉庫，工人們從公司出發(fā)，先到河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉(zhuǎn)運(yùn)到公路邊的倉庫里去，然后返回到a處，問倉庫、碼頭各應(yīng)建在何處，使工人們所行的路程最短.
分析：工人們從a出發(fā)先到河邊碼頭，再到公路的倉庫，然后回到a處，恰好走一個(gè)三角形，現(xiàn)在要求三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別建在河岸與公路的什么位置能使這個(gè)三角形的三邊之和為最小，利用軸對(duì)稱原理作圖.
解：過a分別作河岸、公路的對(duì)稱點(diǎn)a′、a″，如圖13—7，連結(jié)a′a″，交河岸于m，交公路于n，則三角形amn各邊之和等于直線a′a″的長度，所以倉庫建在n處，碼頭建在m處，使工人們所行的路程最短.
例4如圖13—8是一個(gè)長、寬、高分別為4分米、2分米、1分米的長方體紙盒.一只螞蟻要從a點(diǎn)出發(fā)在紙盒表面上爬到b點(diǎn)運(yùn)送食物，求螞蟻行走的最短路程.
分析：因?yàn)槭窃陂L方體的表面爬行，求的是立體圖形上的最短路線問題，往往可以轉(zhuǎn)化為平面上的最短路線問題.將螞蟻爬行經(jīng)過的兩個(gè)面展開在同一平面上，如圖13—9，在展開圖中，ab間的最短路線是連結(jié)這兩點(diǎn)的直線段，但要注意，螞蟻可沿幾條路線到達(dá)b點(diǎn)，需對(duì)它們進(jìn)行比較.
解：螞蟻從a點(diǎn)出發(fā)，到b點(diǎn)，有三條路線可以選擇：
(1)從a點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)b點(diǎn)，將這兩個(gè)平面展開在同一平面上，這時(shí)a、b間的最短路線就是連線ab，如圖13—9(1)，ab是直角三角形abc的斜邊，根據(jù)勾股定理，ab2=ac2+bc2=(1+2)2+42=25
(2)從a點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)b點(diǎn)，將這兩個(gè)面展開在同一平面上，如圖13—9(2)，同理
ab2=22+(1+4)2=29
(3)從a點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面，然后進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)b點(diǎn)，將這兩個(gè)面展開在同一平面上，如圖13—9(3)，得
ab2=(2+4)2+12=37
比較這三條路線，25最小，所以螞蟻按圖13—9(1)爬行的路線最短，最短路程為5分米.
例5如圖13—10，在圓柱形的木桶外，有一個(gè)小甲蟲要從桶外的a點(diǎn)爬到桶內(nèi)的b點(diǎn).已知a點(diǎn)到桶口c點(diǎn)的距離為14厘米，b點(diǎn)到桶口d點(diǎn)的距離是10厘米，而c、d兩點(diǎn)之間的弧長是7厘米.如果小甲蟲爬行的是最短路線，應(yīng)該怎么走?路程是多少?
分析：先設(shè)想將木桶的圓柱展開成矩形平面，如圖13—11，由于b點(diǎn)在桶內(nèi)，不便于作圖，利用軸對(duì)稱原理，作點(diǎn)b關(guān)于直線cd的對(duì)稱點(diǎn)b′，這就可以用b′代替b，從而找出最短路線.
解：如圖13—11，將圓柱體側(cè)面展成平面圖形.作點(diǎn)b關(guān)于直線cd的對(duì)稱點(diǎn)b′，連結(jié)ab′，ab′是a、b′兩點(diǎn)間的最短距離，與桶口邊交于o點(diǎn)，則ob′=ob，ab′=ao+ob，那么a、b之間的最短距離就是ao+ob，所以小甲蟲在桶外爬到o點(diǎn)后，再向桶內(nèi)的b點(diǎn)爬去，這就是小甲蟲爬行的最短路線.
延長ac到e，使ce=b′d，因?yàn)椤鱝eb′是直角三角形，ab′是斜邊，eb′=cd=7厘米，ae=14+10=24(厘米)，根據(jù)勾股定理：
ab′2=ae2+eb′2=242+72=625
所以ab′=25(厘米)
即小甲蟲爬行的最短路程是25厘米.
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