教學原則是以一定的教學目的和教學任務為出發(fā)點，根據(jù)教學規(guī)律制定的對教學工作的基本要求。數(shù)學教學除了堅持各科通用的、一般的教學原則外，還應堅持結(jié)構(gòu)性原則。
一、數(shù)學結(jié)構(gòu)性教學原則的涵義
(一）數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的涵義
法國抽象數(shù)學的主角布爾巴基（Bour-baki)指出：“數(shù)學不是研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的�！睌�(shù)學知識結(jié)構(gòu)主要是指數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)與數(shù)學方法結(jié)構(gòu)，它不僅包括數(shù)學的基本概念和一般原理，而且還包括基本的數(shù)學方法、數(shù)學思想和數(shù)學觀念。其大致構(gòu)成如下：f數(shù)學內(nèi)容結(jié)W數(shù)學教材內(nèi)容的編排結(jié)構(gòu)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)'數(shù)學知識本身的邏輯結(jié)構(gòu)II教材內(nèi)容所里含的方法結(jié)構(gòu)I數(shù)學方法結(jié)構(gòu)U決問題所采用的方法結(jié)構(gòu)
數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)既指數(shù)學教材內(nèi)容的編排結(jié)構(gòu)即數(shù)學內(nèi)容及其排列、組合方式，也指數(shù)學內(nèi)容本身所固有的內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)。數(shù)學內(nèi)容本身的邏輯結(jié)構(gòu)，如立體幾何中空間的角與距離的概念都是通過轉(zhuǎn)化為平面的角與距離來加以定義的，這些概念同時都具有科學性、合理性、簡潔性、最優(yōu)性和實用性。數(shù)學方法結(jié)構(gòu)既指數(shù)學內(nèi)容中所蘊含思想方法及其排列與組合的方式，也指解決某一數(shù)學問題所用的具體方法或步驟。如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)兩單元的教材所蘊含的思想方法都是：從實例抽象概括出一般數(shù)學模型，再用從特殊到一般、從具體到抽象、分類討論、數(shù)形結(jié)合的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，最后應用函數(shù)性質(zhì)解決問題。
由上可知，數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的實質(zhì)是數(shù)學知識本身所固有的內(nèi)在的統(tǒng)一性與規(guī)律性。
(二）數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的涵義
數(shù)學認知結(jié)構(gòu)就是學習者頭腦里的數(shù)學知識，按照自己理解的深度、廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維和聯(lián)想等認知特點組成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。簡單地說，就是包括學習態(tài)度和學習方法在內(nèi)的學習者頭腦中的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。
數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是數(shù)學經(jīng)驗的積累和總結(jié)，是客觀的、外在的，而數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是學習數(shù)學時，學習者頭腦中逐步形成的認知模式，是主觀的、內(nèi)在的。數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是教材按序組織起來的，通過學習是可以掌握的；數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是通過學習這些知識內(nèi)容，形成的智能活動模式，它是一個人數(shù)學素質(zhì)的體現(xiàn)，有正誤與優(yōu)劣之分。學習數(shù)學的過程就是把數(shù)學知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的過程，數(shù)學教學的主要任務就是不斷地形成、發(fā)展和完善學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。
數(shù)學認知結(jié)構(gòu)對于學習者的行為有內(nèi)在的調(diào)節(jié)作用，這主要表現(xiàn)在：1.一切外來知識對學習者的影響，都必須通過學習者的認知結(jié)構(gòu)才能發(fā)生作用；2.由于作用的主體及其認知結(jié)構(gòu)的不同，外來知識影響的結(jié)果也不同。
良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)“應該是構(gòu)成這樣一種含有種種力量一一簡約化知識的力量，產(chǎn)生新的診斷的力量，使知識體形成愈益嚴密的體系的力量--的知識系統(tǒng)”（布魯納語）。它具有以下特征：1.簡約性和單純性。即它舍棄了使人發(fā)生混亂的雜亂的枝蔓，突出基本結(jié)構(gòu)。2.遷移性和發(fā)展性。即對學習新的數(shù)學知識、掌握新的數(shù)學方法和數(shù)學思想具有積極的影響和遷移作用，是新的知識的“固著點”和“生長點”；同時原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)又在學習新的知識.新的方法的過程中不斷地完善、豐富和發(fā)展。3.廣泛性和嚴密性。即它比具體的數(shù)學知識、數(shù)學方法具有更高的抽象性和概括性，不局限于某個知識、某種方法、某類問題；同時學習者頭腦中的數(shù)學知識和方法的內(nèi)部組織和結(jié)構(gòu)是嚴密而有序的。
(三）數(shù)學結(jié)構(gòu)性教學原則的涵義
所謂數(shù)學結(jié)構(gòu)性教學原則，簡單地說，就是從數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)出發(fā)設計和組織教學，以完善和發(fā)展學生原有數(shù)學認知結(jié)構(gòu)為目的。具體地說，即教師要從數(shù)學知識體系高度“結(jié)構(gòu)化”的特點和學生認知結(jié)構(gòu)的形成、發(fā)展規(guī)律出發(fā)，站在整體、系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材，引導學生充分感受和把握數(shù)學的知識結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，體驗數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展全程，同時努力提髙學生原有認知結(jié)構(gòu)的可利用性、穩(wěn)定性與清晰性，為新知識融入已有的認知結(jié)構(gòu)創(chuàng)造條件，以最大限度地避免因教學的盲目性而走不必要的彎路，盡可能地擴大、健全學生頭腦中的數(shù)學知識的內(nèi)容、觀念和組織，完善和發(fā)展學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，提髙教學效益。在這里，學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)既是學習數(shù)學的重要前提和手段，又是學習數(shù)學的重要目標和結(jié)果。
二、數(shù)學結(jié)構(gòu)性教學原則的依據(jù)
（一）有意義學習理論
奧蘇伯爾提出，有意義學習過程的實質(zhì)就是符號所代表的新知識與學習者認知結(jié)構(gòu)中已有的適當觀念建立非人為的（nonarbitrary)和實質(zhì)性的（substan?tive)聯(lián)系。實質(zhì)性聯(lián)系是指新的符號或符號所代表的觀念與學習者認知結(jié)構(gòu)中已有的表象、已經(jīng)有意義的符號、概念或命題的聯(lián)系；非人為的聯(lián)系是指新知識與認知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念在某種合理或邏輯基礎上的聯(lián)系。要促進新知識的'學習，首先要增強學生認知結(jié)構(gòu)中與新知識有關(guān)的觀念。
(二）培養(yǎng)學生良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是數(shù)學教學的目標
布魯納認為：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結(jié)構(gòu)。這是在運用知識方面的最低要求，它有助于解決學生在課外所遇到的問題和事件，或者在日后訓練中所遇到的問題。”“經(jīng)典的遷移問題的中心，與其說是單純地掌握事實和技巧，不如說是教授和學習結(jié)構(gòu)�！盵3]由于良好的認知結(jié)構(gòu)具有簡約性和單純性、遷移性和發(fā)展性、廣泛性和嚴密性，因此從結(jié)構(gòu)的觀點出發(fā)設計和實施教學，有利于完善和發(fā)展學生良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，有利于提高數(shù)學教學效益尤其是可持續(xù)發(fā)展效益。
三、數(shù)學結(jié)構(gòu)性教學原則的實施策略
(一）先行組織者策略
所謂“先行組織者”是指先于學習任務本身呈現(xiàn)的一種引導性材料，它比學習任務本身有更高的抽象、概括和綜合水平，并且能清晰地與認知結(jié)構(gòu)中原有的觀念和新的學習任務關(guān)聯(lián)。設計“先行組織者”的目的是為新的學習任務提供觀念上的固定點，增加新舊知識之間的可辨別性，以促進類屬性的學習。事實上，數(shù)學教材一般總是包括這個先行組織者的，如一開始的綜述，或章節(jié)的大綱和標題。它起了如下作用：（1)點明了將要呈現(xiàn)的知識、方法和觀念之間的聯(lián)系；（2)提醒學生已有知識和即將學習的新材料之間的關(guān)系。
(二）站在整體與結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材
由于數(shù)學教材是髙度結(jié)構(gòu)化的，因此無論是教還是學，站在數(shù)學學科結(jié)構(gòu)和單元題材結(jié)構(gòu)的高度，用結(jié)構(gòu)的觀點把握教材，用結(jié)構(gòu)化的方法處理教材是非常重要的。我們應該讓學生在“見樹木，更見森林；見森林，才見樹木”的情境中學習數(shù)學，引導學生充分感受和把握數(shù)學的知識結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，體驗數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展全程。
(三）提高學生原有認知結(jié)構(gòu)的清晰性、穩(wěn)定性、可辨別性
在學生面對新的學習任務時，教師要引導學生尋找他原有認知結(jié)構(gòu)中能夠吸收、固定新觀念的上位觀念，并努力使這個觀念具有清晰性、穩(wěn)定性、可辨別性。因為這個起固定作用的上位觀念的清晰性、穩(wěn)定性、可辨別性越強，學生學習新觀念就越容易，也越易于保存。
(四）要及時歸納總結(jié) 增強學生認知結(jié)構(gòu)的整體性和結(jié)構(gòu)性
認知心理學認為，認知結(jié)構(gòu)具有整體性和概括性；并且整體性和概括性越強，就越有利于學習的保持和遷移。但實踐表明，不少學生掌握的數(shù)學知識是零亂的、分散的、彼此孤立的。因此教師應及時組織、引導學生對前面所學的知識、規(guī)律、數(shù)學思想方法進行歸納、整理，尋找其內(nèi)在統(tǒng)一性和規(guī)律性，促進學生認知結(jié)構(gòu)整體性、概括性和結(jié)構(gòu)性水平的提高。與此同時，教師應大力培養(yǎng)學生自己將所學知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的能力。
(五）從結(jié)構(gòu)入手，分析問題、解決問題
數(shù)學結(jié)構(gòu)具有豐富性和層次性。數(shù)學問題的結(jié)構(gòu)決定解決問題的數(shù)學思想與數(shù)學方法，結(jié)構(gòu)蘊含著方法，結(jié)構(gòu)提示著方法：結(jié)構(gòu)的豐富性決定方法的多樣性；結(jié)構(gòu)的特殊性決定方法的特殊性。因此在問題解決教學中，我們可用結(jié)構(gòu)分析法來探索解決問題的途徑和方法，從而為數(shù)學問題的解決、學生解決問題能力的培養(yǎng)開辟新的道路，提供新的武器。
四、數(shù)學結(jié)構(gòu)性教學原則的意義
第一，它為數(shù)學教學提供了以建構(gòu)數(shù)學認知結(jié)構(gòu)為中心的整體認識觀，促進學生從整體上把握數(shù)學知識、方法和觀念，進而有效地克服肢解數(shù)學知識和方法的現(xiàn)象。
第二，它提醒我們，發(fā)現(xiàn)式學習和開放性教學應該有一個“度”，不能走極端。中外教育的歷史已經(jīng)證明：學生的學習不可能是不著邊際的發(fā)現(xiàn)學習，“無結(jié)構(gòu)教學”、極端的‘‘開放性教學、開放課堂、自由學習法”并沒有提高教學質(zhì)量，反而導致了教學質(zhì)量的下降。
第三，它有助于學生克服只注意知識增長、把解題步驟和程序作為學習重點的傾向，增強學生學習數(shù)學的整體意識和結(jié)構(gòu)意識。
第四，它使學生把業(yè)已掌握的知識提高到簡潔的原理性結(jié)構(gòu)上的可能性增大，也使學生以已有知識為基礎，向未知的新事物遷移、洞察的傾向增大，因此有助于提髙數(shù)學教學的效率和效益。
五、數(shù)學結(jié)構(gòu)性教學原則應用舉例
例1，在學習“0°?360°間的角的三角函數(shù)”時，從概念的來源、科學性、合理性、必要性角度等結(jié)構(gòu)性特征出發(fā)，教師可自然地引導學生提出：（1)為什么會想到要定義0°?360°間的角的三角函數(shù)？（2)我們該如何定義0°?360°間的角的三角函數(shù)？應該怎樣去尋找解決辦法？（3)初中時銳角三角函數(shù)是借助直角三角形定義的，這兩者之間有無必然的聯(lián)系？（4)既然銳角三角函數(shù)值的大小由這個角的大小本身確定，與這個銳角所在的三角形是不是直角三角形或者這個銳角是不是三角形的內(nèi)角無關(guān)，那么我們能否用其他方法來定義銳角三角函數(shù)？（5)如果能，那么我們該如何從原有的定義中得到啟發(fā)，尋找新的定義方法？（6)新的定義科學嗎？合理嗎？它有什么優(yōu)點？（7)如何運用新的定義去解決問題？
例2,在學習和研究球體積公式時，從定理形成、證明的結(jié)構(gòu)性特征出發(fā)，（1)我們很自然地形成這樣的教與學的思路：在證明一個定理之前，先猜想這個定理；在搞清楚證明細節(jié)之前，先猜想證明的主導思想。（2)我們需要從與此相類似的圓周長、圓面積、球面面積等問題的解決中尋找啟發(fā)。（3)我們可以通過細沙、水等實驗來驗證或探索球體積公式。（4)我們可從祖暱原理的結(jié)構(gòu)出發(fā)，構(gòu)造相應的幾何體證明猜想。
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