深入分析換元法的目的和意義,從而得出各種換元技巧的本質(zhì)規(guī)律,以便在數(shù)學(xué)解題中能夠有效地選擇換元方式. 關(guān)鍵詞:換元法,轉(zhuǎn)化 從一種形態(tài)轉(zhuǎn)化到另一種形態(tài),這是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)杠桿,也是解題常用的手段. 數(shù)學(xué)史中這樣的例子很多,無(wú)論是對(duì)一些具體問(wèn)題的解決,還是在經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法中,都無(wú)不滲透著

　　這一思想. 解題中常用到的換元法,其實(shí)也是這一思想的具體體現(xiàn).

　　當(dāng)然,為了使問(wèn)題得到解決,轉(zhuǎn)化應(yīng)該是有效的. 什么是有效的轉(zhuǎn)化?總的.說(shuō)來(lái),有利于問(wèn)題解決的轉(zhuǎn)化就是有效轉(zhuǎn)化. 在具體問(wèn)題中,針對(duì)轉(zhuǎn)化的有效性,人們作了很多的探討. 以換元法為例,就有很多文章探討了解方程中的換元技巧,積分中的換元技巧,等等. 每一類問(wèn)題又由于其具體形式的不同,換元的形式也多種多樣. 分析各種換元形式的共同規(guī)律,可以將其歸結(jié)為以下兩種模式.

　　一、通過(guò)換元使形式凝練、簡(jiǎn)化

　　化繁為簡(jiǎn)是處理問(wèn)題的一種常用方法,也是數(shù)學(xué)解題的一種重要手段,恰當(dāng)?shù)膿Q元往往可以起到這一作用.

　　例1 解方程.

　　分析 這是一個(gè)含根式的二次方程,形式較復(fù)雜,但注意到方程左端可以化成關(guān)于的表達(dá)式,令,原方程可簡(jiǎn)化為一元二次方程,問(wèn)題得以解決.

　　解 原方程可改寫(xiě)為

　　.(1)

　　令,則方程(1)可化為

　　,(2)

　　解此方程,得(舍去),.

　　由,得

　　,(3)

　　解方程(3),得原方程的根

　　,.

　　二、通過(guò)換元改造難于處理的形式

　　表達(dá)式中出現(xiàn)難于處理的形式,如根式、超越函數(shù)等,通過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q元來(lái)改造形式,使問(wèn)題得以解決.

　　例2 求不定積分.

　　分析 被積函數(shù)的分子、分母中分別出現(xiàn)了二次根式和三次根式,沒(méi)有直接的積分公式可以套用,設(shè)法將根式去掉. 令,可以將無(wú)理函數(shù)轉(zhuǎn)化為有理函數(shù).

　　解 設(shè),即,. 于是

　　在具體問(wèn)題中,換元的形式多種多樣,但究其本質(zhì),多是從以上兩個(gè)角度選擇換元方式. 弄清這一基本規(guī)律,我們就沒(méi)有必要去記憶各種換元技巧,具體問(wèn)題具體分析,有針對(duì)性地恰當(dāng)選擇換元.

　　[參考文獻(xiàn)]

　　[1]劉玉璉,傅沛仁,林玎,苑德馨,劉寧. 數(shù)學(xué)分析講義(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.

　　[2]宋天鑒,劉衛(wèi)華,孫敏. 高中數(shù)學(xué)解題法[M]. 昆明:云南教育出版社,1996.

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