９．２多邊形的內(nèi)角和與外角和
教學(xué)目的
1．使學(xué)生了解多邊形及多邊形的內(nèi)角、外角等概念。
2．使學(xué)生通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會利用它們進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。
重點(diǎn)、難點(diǎn)
1．重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和與外角和定理。
2．難點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和，外角和定理的推導(dǎo)
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)提問
1．什么叫三角形?
2．三角形的內(nèi)角和是多少?
3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?
二、新授
1．多邊形的概念，
三角形有三個(gè)內(nèi)角、三條邊，我們也可以把三角形稱為三邊形(但習(xí)慣稱三角形)。我們知道：不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫三角形。
你能說出什么叫四邊形、五邊形嗎?
如圖(1)它是由不在同一直線上的4條線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為四邊形ABCD。(按順時(shí)針或逆時(shí)針方向書寫) A
D D
C B F
A C E
C
A B E
B (1) (2) D (3)
圖(2)是由不在同一直線上的5條線段首尾顧次連結(jié)組成的平面圖形，記為五邊形ABCDE。
一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為n邊形，又稱多邊形。
與三角形類似如圖，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角，延長 AB、CB得四邊形ABCD的兩個(gè)外角∠CBE和∠ABF，這兩個(gè)外角是對頂角。一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角，有2n個(gè)外角。
如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，則稱為正多邊形，如正三角形、正四邊形(正方形)、正五邊形等等。連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的'對角線，如圖1，線段AC是四邊形 ABCD的對角線，如圖2，線段AD、AC是四邊形ABCDE的對角線，如圖3中線段AC、AD、AE是六邊形ABCDEF的對角線。
問：(1)四邊形有幾條對角線?(兩條AC、BD)
(2)五邊形有幾條對角線?
以A為端點(diǎn)的對角線有兩條AC、AD，同樣以月為端點(diǎn)的對角線也有2條，以C為端點(diǎn)也有2條，但AC與CA是同一條線段，以D為端點(diǎn)的兩條DA、DB與AD、BD都分別表示同一條線段。所以只有5條。
(3)六邊形有幾條對角線?n邊形呢? 六邊形有9條對角線。
從以上分析可知從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引對角線，可以引(n-3)條， (除本身這個(gè)點(diǎn)以及和這點(diǎn)相鄰的兩點(diǎn)外)，那么n個(gè)頂點(diǎn)，就有n(n- 3)條，但其中每一條都重復(fù)計(jì)算一次，如AB與BA，所以n邊形一共有條對角線。
大家可以加以驗(yàn)證：當(dāng)n=3時(shí)，沒有對角線，當(dāng)n=4時(shí)，有2條；當(dāng)n=5時(shí)，有5條：當(dāng)n=6時(shí)，有9條…
2．多邊形的內(nèi)角和公式。
三角形是邊數(shù)最少的多邊形，它的內(nèi)角和等于180°，那么一般n邊形是否也有內(nèi)角和公式呢?讓我們先從四邊形，正邊形，六邊形……開始。
從上面對角線的研究可知，一條對角線把四邊形分成2個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的內(nèi)角和的和就是四邊形的內(nèi)角和，五邊形的內(nèi)角和就是圖中3個(gè)三角表內(nèi)角和的和。
讓學(xué)生填寫教科書表9.2.1,由此你可以得到“n”邊形的內(nèi)角和公式嗎?
n邊形的內(nèi)角和＝(n-2)?180°知道一個(gè)多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)公式也可以求邊數(shù)n。
例1．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于2340°，求它的邊數(shù)。
問題：一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為150°，你知道它是幾邊形?
分析：正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等。多邊形的內(nèi)角和等于(n-2)?180°，還可以用以下的劃分來說明，即在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)P，連結(jié)點(diǎn)P與多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)，可得幾個(gè)三角形?這幾個(gè)三角形的各內(nèi)角與這個(gè)多邊的各內(nèi)角之間有什么關(guān)系?請你試一試。
對有困難的學(xué)生教師可以加以引導(dǎo)。
如圖(教科書圖9.2.5)每一個(gè)三角形都有一條邊就是多邊形的邊，因此n邊形就可劃分成n個(gè)三角形，這n個(gè)三角形的內(nèi)角和減去以 P為頂點(diǎn)的周角所得的差就是n邊形的內(nèi)角和。因此，n邊形的內(nèi)角和為：
n?180°-360°＝n?180°-2?180°=(n-2)?180°
問：還有其他方法嗎?讓學(xué)生自主探索，對不同方法給予鼓勵。
3．多邊形的外角和。
什么叫多邊形的外角和。
與三角形的外角和一樣，與多邊形的每個(gè)內(nèi)角相鄰的外角有兩個(gè)，這兩個(gè)角是對頂角，從與每個(gè)內(nèi)角相鄰的兩個(gè)外角中分別取一個(gè)相加，得到的和稱為多邊形的外角和，如教科書圖9.2.6，∠1+∠2+∠3+∠4就是四邊形的外角和。
多邊形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我們也來探討。
因?yàn)閚邊形的一個(gè)內(nèi)角與它的相鄰的外角互為補(bǔ)角，所以可先求出多邊形的內(nèi)角與外角的總和，再減去內(nèi)角和，就可得到外角和。
讓學(xué)生填寫填教科寫表9.2.2
n邊形的內(nèi)角與外角的總和為n?180°
n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180°
那么n邊形的外角和為n?180°－(n－2)?180°=n?180°-n?180°+360°=360°
這就是說多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，都等于360°。
例2．一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)。
分析：正多邊形的各個(gè)內(nèi)角都相等，那么各個(gè)外角也都相等，而多邊形的外角和是360°，因此只要求出每個(gè)外角度數(shù)，就可知是幾邊形了。
點(diǎn)撥；多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)無關(guān)，故常把多邊形內(nèi)角的問題轉(zhuǎn)化為外角和來處理。
三、鞏固練習(xí)
1．教科書第70頁練習(xí)1．2。
第2題引導(dǎo)學(xué)生從外角考慮，多邊形的內(nèi)角是銳角，那么和這個(gè)內(nèi)角相鄰的外角是什么樣的角?[鈍角]
多邊形的外角和是360°，那么在這些外角中鈍角的個(gè)數(shù)最多可以是幾個(gè)?3個(gè)可以嗎?4個(gè)呢?讓學(xué)生動手算一算，由他們自己得出結(jié)論．
從而得到最多可以有3個(gè)外角是鈍角，即多邊形的內(nèi)角中最多可以有3個(gè)是銳角。
四、小結(jié)
本節(jié)課我們通過把多邊形劃分成若干個(gè)三角形，用三角形內(nèi)角和去求多邊形的內(nèi)角和，從而得到多邊形的內(nèi)角和公式為(n-2)?180°。這種化未知為已知的轉(zhuǎn)化方法，必須在學(xué)習(xí)中逐步掌握。由于多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)無關(guān)，所以常把多邊形內(nèi)角的問題轉(zhuǎn)化為外角和來處理。
五、作業(yè)
教科書習(xí)題9。2 1、2、3、4。
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