一元二次方程實數(shù)根錯例剖析的教案

2024-09-21

一元二次方程實數(shù)根錯例剖析的教案

　　1、關于x的方程ax2+bx+c=0，當a_____時，方程為一元一次方程；當 a_____時，方程為一元二次方程。

　　2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______，當△_______時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當△_______時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當△________時，方程沒有實數(shù)根。

　　例1 下列方程中兩實數(shù)根之和為2的方程是（）

　　(A) x2+2x+3＝0 (B) x2-2x+3＝0 (c) x2-2x-3＝0 (D) x2+2x+3＝0

　　錯答： B

　　正解：C

　　錯因剖析：由根與系數(shù)的關系得x1+x2＝2，極易誤選B，又考慮到方程有實數(shù)根，故由△可知，方程B無實數(shù)根，方程C合適。

　　例2 若關于x的方程x2+2(k+2)x+k2＝0 兩個實數(shù)根之和大于-4，則k的取值范圍是（）

　　(A) k＞-1 (B) k＜0 (c) -1＜ k＜0 (D) -1≤k＜0

　　錯解：B

　　正解：D

　　錯因剖析：漏掉了方程有實數(shù)根的前提是△≥0

　　例3（2000廣西中考題）已知關于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1＝0有兩個不相等的實根，求k的取值范圍。

　　錯解: 由△＝(-2)2-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得 k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

　　圍是 -1≤k＜2

　　錯因剖析：漏掉了二次項系數(shù)1-2k≠0這個前提。事實上，當1-2k＝0即k＝時，原方程變?yōu)橐淮畏匠�，不可能有兩個實根。

　　正解： -1≤k＜2且k≠

　　例4 （2002山東太原中考題）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的兩個實數(shù)根，當x12+x22=15時，求m的值。

　　錯解：由根與系數(shù)的關系得

　　x1+x2＝ -（2m+1）， x1x2＝m2+1，

　　∵x12+x22＝(x1+x2)2-2 x1x2

　�。絒-（2m+1）]2-2（m2+1）

　�。�2 m2+4 m-1

　　又∵ x12+x22=15

　　∴ 2 m2+4 m-1=15

　　∴ m1 ＝ -4 m2 ＝ 2

　　錯因剖析：漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當m ＝ -4時，方程為x2-7x+17＝0，此時△＝（-7）2-4×17×1＝ -19＜0，方程無實數(shù)根，不符合題意。

　　正解：m ＝ 2

　　例5 若關于 x的方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0有實數(shù)根，求m的取值范圍。

　　錯解：△＝[-2(m+2)]2-4(m2-1) ＝16 m+20

　　∵ △≥0

　　∴ 16 m+20≥0，

　　∴ m≥ -5/4

　　又 ∵ m2-1≠0，

　　∴ m≠±1

　　∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -

　　錯因剖析：此題只說(m2-1)x2-2 (m+2)x+1＝0是關于未知數(shù)x的方程，而未限定方程的次數(shù)，所以在解題時就必須考慮m2-1＝0和m2-1≠0兩種情況。當m2-1＝0時，即m＝±1時，方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋杂袑崝?shù)根。

　　正解：m的取值范圍是m≥-

　　例6 已知二次方程x2+3 x+a＝0有整數(shù)根，a是非負數(shù)，求方程的整數(shù)根。

　　錯解：∵方程有整數(shù)根，

　　∴△＝9-4a＞0，則a＜2。25

　　又∵a是非負數(shù)，∴a＝1或a＝2

　　令a＝1，則x＝ -3±，舍去；令a＝2，則x1＝ -1、 x2＝ -2

　　∴方程的整數(shù)根是x1＝ -1， x2＝ -2

　　錯因剖析：概念模糊。非負整數(shù)應包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分，當a＝0時，還可以求出方程的另兩個整數(shù)根，x3＝0， x4＝ -3

　　正解：方程的整數(shù)根是x1＝ -1， x2＝ -2 ， x3＝0， x4＝ -3

　　練習1、（01濟南中考題）已知關于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2。（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由。

　　解：（1）根據(jù)題意，得△＝(2k-1)2-4 k2＞0 解得k＜

　　∴當k＜時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

　�。�2）存在。如果方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)，則x1+ x2=-=0，

　　解得k＝。經檢驗k＝是方程-的解。

　　∴當k＝時，方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。

　　讀了上面的解題過程，請判斷是否有錯誤？如果有，請指出錯誤之處，并直接寫出正確答案。

　　解：上面解法錯在如下兩個方面：

　�。�1）漏掉k≠0，正確答案為：當k＜時且k≠0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

　�。�2）k＝。不滿足△＞0，正確答案為：不存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)

　　練習2（02廣州市）當a取什么值時，關于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1＝0只有正實數(shù)根 ?

　　解：（1）當a＝0時，方程為4x-1＝0，∴x＝

　�。�2）當a≠0時，∵△＝16+4a≥0 ∴a≥ -4

　　∴當a≥ -4且a≠0時，方程有實數(shù)根。

　　又因為方程只有正實數(shù)根，設為x1，x2，則：

　　x1+x2＝-＞0 ；

　　x1。 x2＝-＞0 解得：a＜0

　　綜上所述，當a＝0、a≥ -4、a＜0時，即當-4≤a≤0時，原方程只有正實數(shù)根。

　　以上數(shù)例，說明我們在求解有關二次方程的問題時，往往急于尋求結論而忽視了實數(shù)根的存在與“△”之間的關系。

　　1、運用根的判別式時，若二次項系數(shù)為字母，要注意字母不為零的條件。

　　2、運用根與系數(shù)關系時，△≥0是前提條件。

　　3、條件多面時（如例5、例6）考慮要周全。

　　1、當m為何值時，關于x的方程x2+2（m-1）x+ m2-9＝0有兩個正根？

　　2、已知，關于x的方程mx2-2（m+2）x+ m+5＝0（m≠0）沒有實數(shù)根。求證：關于x的方程

　　（m-5）x2-2（m+2）x + m＝0一定有一個或兩個實數(shù)根。

　　考題匯編

　　1、（2000年廣東省中考題）設x1、 x2是方程x2-5x+3＝0的兩個根，不解方程，利用根與系數(shù)的關系，求（x1-x2）2的值。

　　2、（2001年廣東省中考題）已知關于x的方程x2-2x+m-1＝0

　�。�1）若方程的一個根為1，求m的值。

　�。�2）m＝5時，原方程是否有實數(shù)根，如果有，求出它的實數(shù)根；如果沒有，請說明理由。

　　3、（2002年廣東省中考題）已知關于x的方程x2+2（m-2）x+ m2＝0有兩個實數(shù)根，且兩根的平方和比兩根的積大33，求m的值。

　　4、（2003年廣東省中考題）已知x1、x2為方程x2+px+q＝0的兩個根，且x1+x2＝6，x12+x22＝20，求p和q的值。

　　課題：一元二次方程實數(shù)根錯例剖析課

　　精選學生在解一元二次方程有關問題時出現(xiàn)的典型錯例加以剖析，幫助學生找出產生錯誤的原因和糾正錯誤的方法，使學生在解題時少犯錯誤，從而培養(yǎng)學生思維的批判性和深刻性。