數(shù)學的歸納法解析總結(jié)

2024-08-02

數(shù)學的歸納法解析總結(jié)

　　數(shù)學歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。

　　數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的一種推理方法，在解數(shù)學題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時成立，這是遞推的基礎(chǔ)，第二步是假設(shè)在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)(或n≥n且n∈N)結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。

　　運用數(shù)學歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標完成解題。

　　運用數(shù)學歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。

　　常見數(shù)學歸納法及其證明方法

　　(一)第一數(shù)學歸納法

　　一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，有如下步驟

　　(1)證明當n取第一個值時命題成立，對于一般數(shù)列取值為1，但也有特殊情況

　　(2)假設(shè)當n=k(k≥[n的第一個值]，k為自然數(shù))時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

　　(二)第二數(shù)學歸納法

　　對于某個與自然數(shù)有關(guān)的命題

　　(1)驗證n=n0時P(n)成立

　　(2)假設(shè)no